Función dos veces diferenciable

Question

Sabemos que la función dos veces diferenciable $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es tal que $g(0) = 999$ , $g'(0) = 1000$ y $|g''(x)| \le 10000$ por cada $x \in \mathbb{R}$ . Dejemos que $K := g(\frac{1}{1000})$ . Cómo demostrar que $K$ El segundo dígito después del punto decimal es igual a $9$ o $0$ ? ¿Cuáles son sus otros dígitos?

Answer 1

Por el hecho de que

$g(10^{-3})=g(0)+g'(0)10^{-3}+\frac{g''(\theta)}{2}(10^{-3})^2$

para algunos $\theta\in[0,10^{-3}]$ y los valores correspondientes para $g,g'$ y el límite de $g''$ tenemos

$|g(10^{-3})-1000|\leq 0.005$

Esto significa que

$999.095\leq g(10^{-3})\leq 1000.005$

y la prueba se completa.