Difícil prueba de que el promedio ponderado es una mejor estimación de la onu promedio ponderado de:

Question

La siguiente es una palabra por palabra copia de una difícil pregunta y la solución a la misma. He marcado $\color{red}{\mathrm{red}}$ las partes de la solución para los que no entiendo y las partes marcadas con $\color{#180}{\text{green underbraces}}$ son no parte de la solución y representan lo que yo creo que el autor está diciendo:

Start of Question:

Muestran que el promedio simple: $\bar{q}=\sum_i\frac{q_i}{N}$ no es una buena estimación de la media ponderada. El uso de la propagación de errores, encontrar la incertidumbre $\sigma_{\bar{q}}$ sobre el promedio simple. Es $\sigma_{\bar{q}}$ menor que $\sigma_j$ todos los $j$ en este caso? Por la relación: $$\frac{\sigma_{\bar{q}}^2}{\sigma_{\widehat{e}}^2}$$ show that $\sigma_{\bar{q}}\ge\sigma_{\widehat{e}}$, which means the weighted average is better. Under what condition does $\sigma_{\bar{q}} = \sigma_{\widehat{e}}$. What do the general expressions for $\widehat{e}$ and $\sigma_{\widehat{e}}$ simplificar en este caso especial?

End of Question.

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Start of Solution:

Con $\bar{q}=\sum_i\frac{q_i}{N}$,$\frac{\partial{\bar{q}}}{\partial{q_i}}=\frac{1}{N}$. Por lo tanto, $$\sigma_{\bar{q}}^2=\sum_i\left(\cfrac{\partial{\bar{q}}}{\partial{q_i}}\right)^2\sigma_i^2 \tag{Error propagation formula}$$ $$=\sum_i\frac{1}{N^2}\sigma_i^2=\frac{1}{N^2}\sum_i\sigma_i^2$$ In this case $\sigma_{\bar{q}}$ is not necessarily smaller than all the $\sigma_j$. A specific example; with $N=2$ measurements with uncertainties $\sigma_1=1.0$ and $\sigma_2=0.1$, then $\sigma_{\bar{q}}^2=\frac{1.01}{4}\aprox 0.25$ so $\sigma_{\bar{q}}=0.5$ and hence is bigger than $\sigma_2$.

Tomando la relación con $\sigma_{\bar{q}}^2$ da $$\frac{\sigma_{\bar{q}}^2}{\sigma_{\widehat{e}}^2}=\frac{1}{N^2}\left(\sum_{i}\sigma_i^2\right)\left(\sum_{j}\frac{1}{\sigma_j^2}\right)$$ Note that two different indices are required on the two running sums. The double sum can be divided into the terms with $i=j$ and $i\ne j$: $$\frac{\sigma_{\bar{q}}^2}{\sigma_{\widehat{e}}^2}=\frac{1} {N^2}\sum_{i,j}\frac{\sigma_i^2}{\sigma_j^2}=\frac{1}{N^2}\left(\sum_{\color{#180}{\underbrace{\color{red}{i}}_{\color{#180}{i: i= j}}}}\frac{\sigma_i^2}{\sigma_i^2}+\sum_{\color{#180}{\underbrace{\color{red}{i,j\ne i}}_{\color{#180}{i: i \ne j}}}} \frac{\sigma_i^2}{\sigma_j^2}\right)=\frac{1}{N^2}\left(N+\sum_{\color{#180}{\underbrace{\color{red}{i,j\ne i}}_{\color{#180}{i: i \ne j}}}}\frac{\sigma_i^2}{\sigma_j^2}\right)$$ $\color{red}{\text{Hay}} espacio \\color{red}{N^{2}} \color{red}{-N} espacio \\color{red}{\text{términos en la segunda suma. Para cada} espacio\}\color{red}{\frac{\sigma_i^2}{\sigma_j^2}} espacio\\color{red}{\text{plazo, también hay un} espacio\}\color{red}{\frac{\sigma_j^2}{\sigma_i^2}} espacio\\color{red}{\text{plazo.}}$

Deje $r_{ij}=\frac{\sigma_i^2}{\sigma_j^2}$; luego la suma de los dos términos es, a continuación,$r_{ij}+\frac{1}{r_{ij}}$. Este tiene un valor mínimo cuando $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r_{ij}}\left(r_{ij}+\frac{1}{r_{ij}}\right)=1-\frac{1}{r_{ij}^2}=0$$ which holds for $r_{ij}=1$ (where $r_{ij}=-1$ is dropped as $r_{ij}$ must be positive). Hence, the minimum possible value for each pair of terms is $1+\frac{1}{1}=2$. Hence, the total of all the terms must be $\ge N^2 -N$. Therefore, $$\frac{\sigma_{\bar{q}}^2}{\sigma_{\widehat{e}}^2}\ge \frac{1}{N^2}\left(N+N^2-N\right)\ge 1$$ Hence $\sigma_{\bar{q}}\ge\sigma_{\widehat{e}}$ como se requiere. La igualdad sólo se mantiene si todos los $r_{ij}=1$. Esto significa que todas las incertidumbres que deben tener el mismo valor; dejar que este ser $\sigma$. El promedio ponderado se convierte entonces en $$\widehat{e}=\frac{\left(\sum_i q_i\right)/\sigma^2}{\left(\sum_i 1\right)/\sigma^2}=\sum_i\frac{q_i}{N}=\bar{q}$$ i.e the usual un-weighted average. The uncertainty on the weighted average becomes $$\frac{1}{\sigma_{\widehat{e}}^2}=\sum_i\frac{1}{\sigma^2}=\frac{N}{\sigma^2}$$ and so $$\sigma_{\widehat{e}}=\frac{\sigma}{\sqrt{N}}$$ que es la incertidumbre sobre la habitual.

End of Solution.

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Para el $\color{red}{\mathrm{red}}$ frase no tengo idea de por qué $\color{red}{\text{there are}} \space\color{red}{N^{2}} \color{red}{-N} \space \color{red}{\text{terms in the second sum}}$. Desde $$\frac{1}{N^2}\left(N+\sum_{\color{#180}{\underbrace{\color{red}{i,j\ne i}}_{\color{#180}{i: i \ne j}}}}\frac{\sigma_i^2}{\sigma_j^2}\right)=\frac{1}{N}+{\frac{1}{N^2}\sum_{\color{#180}{\underbrace{\color{red}{i,j\ne i}}_{\color{#180}{i: i \ne j}}}}\frac{\sigma_i^2}{\sigma_j^2}}$$ I assume that the author means $\color{red}{\text{hay}} espacio \\color{red}{N^{2}} \color{red}{-N} espacio \\color{red}{\text{términos}}$ in $${\frac{1}{N^2}\sum_{\color{#180}{\underbrace{\color{red}{i,j\ne i}}_{\color{#180}{i: i \ne j}}}}\frac{\sigma_i^2}{\sigma_j^2}}$$ If this is the case; Could someone please explain to me how this is true and why $\color{red}{\text{para todo} espacio\}\color{rojo}{\frac{\sigma_i^2}{\sigma_j^2}} espacio\\color{red}{\text{plazo, también hay a}\space}\color{red}{\frac{\sigma_j^2}{\sigma_i^2}}\space\color{red}{\text{term}}$?

Also; Can I please get confirmation that the text written in the $\color{#180}{\text{verde underbraces}}$ es correcto o no?

Gracias,

BLAZE.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\sum_{i,j}a_{i,j}=\sum_i^N\sum_j^N a_{i,j},$$ así que no es de $N^2$ términos de esta suma.

Del mismo modo $$\sum_{i,j\ne i} a_{i,j}=\sum_i^N\sum_{j:j\ne i}^N a_{i,j} = \color{red}{\sum_i^N\left(\sum_{j=1}^{i-1} a_{i,j} + \sum_{j=i+1}^{N} a_{i,j}\right)}= \sum_i(a_{i,1}+a_{i,2}+\dots+a_{i,i-1}+a_{i,i+1}+a_{i,i+2}+\dots +a_{i,N}),$$ no es $N$ términos de la forma$a_{i,i}$, lo que se omite en esta suma, por lo que la suma ha $N^2-N$ términos.

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Por lo tanto, $i:i\ne j$ no es lo mismo que $i,j\ne i$. El primero significa todos los $i$' tal que (':' = 'tal que') $i\ne j$, es decir, todos los $i$'s con la excepción de $i=j$ ($j$ es algo conocido en este caso). El último dice que todos los $i$'s y $j$'s, salvo el caso de $i=j$.

Para cada $\frac{\sigma_i^2}{\sigma_j^2}$ plazo, también hay un $\frac{\sigma_j^2}{\sigma_i^2}$ término proviene de la conmutatividad de la adición, que le da identidad $$\sum_i^N\sum_{j:j\ne i}^N a_{i,j} = \sum_j^N\sum_{i:i\ne j}^N a_{i,j}$$ Esto es sólo tomar $$(0\; +a_{1,2}+a_{1,3}+a_{1,4}+\dots +a_{1,N})+\\ (a_{2,1}+0+a_{2,3}+a_{2,4}+\dots +a_{2,N})+\\ (a_{3,1}+a_{3,2}+0+a_{3,4}+\dots +a_{3,N})+\\ \vdots\\ (a_{N,1}+a_{N,2}+a_{N,3}+\dots +a_{N,N-1}+0) $$ y el cambio de las columnas con las filas $$(0+a_{2,1}+a_{3,1}+a_{4,1}+\dots +a_{N,1})+\\ (a_{1,2}+0+a_{3,2}+a_{4,2}+\dots +a_{N,2})+\\ (a_{1,3}+a_{2,3}+0+a_{4,3}+\dots +a_{N,3})+\\ \vdots\\ (a_{1,N}+a_{2,N}+a_{3,N}+\dots +a_{N-1,N}+0) $$

Intenta convencer a tu auto son similares sumas.

Por favor, hágamelo saber si usted necesita más detalles.