Considere la curva $C = \lbrace y=f(x)\rbrace$${\bf R}^2$. Suponga que $f$ es dos veces continuamente diferenciable. A continuación, mostrar que $m(C + C) \gt 0$ si y sólo si $C+C$ contiene un conjunto abierto si y sólo si $f$ no es lineal (donde, presumiblemente, $m$ es la medida de Lebesgue).
Respuesta
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user3035
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Otra manera de expresar este problema: Demostrar que si $f(x)$ es lineal,$m(C + C) = 0$, y que si $f(x)$ es no lineal, $C + C$ contiene un conjunto abierto.
El conjunto $C + C$$\{(x + z, f(x) + f(z): 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1\}$. Tan sólo por la forma $y = mx + b$, no debería ser difícil para usted para mostrar que si $f(x)$ es lineal, a continuación, $C + C$ está en una línea cuya ecuación se puede determinar.
La segunda parte es la parte difícil. La idea es que si $f''(x) \neq 0$, sin pérdida de generalidad (por $C^2$ness), podemos asumir que $0 < x < 1$. El objetivo será mostrar que $C + C$ contiene un conjunto abierto cerca de $(2x, 2f(x))$. Tenga en cuenta que un punto de $(x + z, f(x) + f(z))$ $z$ cerca de $x$ puede ser reescrita como $(w, f(x) + f(w - x))$ donde $w$ es cerca de $2x$.
Visto como una función de $x$, $f(x) + f(w - x)$ tiene derivada cero en $x = w/2$, pero tiene nonvanishing segunda derivada en $x = w/2$, mientras $f''(w/2)$ es distinto de cero. Así como $x$ varía de un segmento vertical con el extremo de $(w/2, 2f(w/2))$ está trazada. Esto es válido para cualquier $w$ en un intervalo para el cual se $f''(w/2) \neq 0$, y la longitud del segmento delimitado por debajo (y son todos por encima o por debajo de todo $(w/2, 2f(w/2))$) $C^2$ condición. Así que usted consigue lo que usted necesita.
EDITAR:
Después de escribir esto, otro (más rápido) manera de hacer la segunda parte se me ocurrió.. El determinante Jacobiano de $(x,z) \rightarrow (x + z, f(x) + f(z))$$f'(z) - f'(x)$. Esto va a ser distinto de cero si $x \neq z$ están cerca de un punto de $y$ donde $f''(y) \neq 0$. Por lo que el teorema de la función inversa da que la imagen de este mapa contiene un abierto disco centrado en la imagen de alguna de esas $(x,z)$.
