Dado ${a_n}$ una convergencia de la serie de $\sum {{a_n}}$, y también que por cada $n$, $a_n\ne0$. ¿La serie $\sum {\left( {1 - \frac{{\sin {a_n}}}{{{a_n}}}} \right)} $ convergen? Para cada ejemplo que he intentado veo que no, pero no puedo encontrar un "general" de la conclusión de este.
Respuestas
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(El siguiente es un poco larga, con el objetivo de dar a la intuición. Saltar a la última de las líneas si desea sólo una conclusión)
Desde la original de la serie es convergente, $a_n \xrightarrow[n\to\infty]{} 0$. Pero entonces, $$ \pecado a_n = a_n - \frac{a_n^3}{6} + o(a_n^3) $$ y por lo tanto $$ 1-\frac{\sin a_n}{a_n} = \frac{a_n^2}{6}+o(a_n^2) $$
Si $\sum a_n$ eran absolutamente convergente (o $a_n$ no negativo), que sería genial-entonces lo anterior garantizaría $\sum_n (1-\frac{\sin a_n}{a_n})$ también es convergente por comparación (se puede discutir por qué?). Pero esto sugiere que, de lo contrario (sólo de convergencia condicional de $\sum_n a_n$, esto puede no ser el caso.
En particular, ¿qué pasa si $a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ (donde debemos elegir la que se basa en la expansión de Taylor de arriba: es decir, el uso de la visión dada por el hecho de que llegamos $a_n^2$)? A continuación, el de arriba muestra que $$ 1-\frac{\sin a_n}{a_n} = \frac{1}{6n}+o\left(\frac{1}{n}\right) $$ Pero el lado derecho es el término general de una divergentes (no negativo) de la serie. Por comparación, la serie de término general definido por la LHS, también debe ser divergentes.
Thomas
Puntos
196
La expansión en series de Taylor de $1-\dfrac{\sin x}{x}$$\dfrac{x^2}{6}-\dfrac{x^4}{120}+\cdots$.
Así, al$a_n \approx 0$, $1-\dfrac{\sin a_n}{a_n}$ se comporta como $\dfrac{1}{6}a_n^2$.
Basado en esto, considere las secuencias de $a_n = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$$a_n = \dfrac{1}{n^2}$. Para estas dos secuencias, la serie $\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_n$ converge. ¿Qué se puede decir acerca de la $\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\left(1-\dfrac{\sin a_n}{a_n}\right)$ tanto de estas secuencias?
