Encontrar el valor máximo de la integral definida

Question

Si $$\int_0^1f(x)\,dx=0$$ y $f(x)\in[-1,1]$ entonces cuál es el valor máximo de $$\int_0^1f^3(x)\,dx$$

Answer 1

Dejemos que $A,B$ partición $[0,1]$ tal que $f(a)\geq 0\forall a\in A$ y $f(b)<0\forall b\in B$ . $f$ es integrable en $A$ y $B$ porque están formados por un número contable de intervalos. Sea $A$ tienen medida $a$ , $B$ tienen medida $b$ .

Ahora dejemos que $C=\int_A f=-\int_B f$ y $C\leq a=1-b$ . Se puede demostrar que $\int_A f^3\leq C$ y $\int_B f^3\leq -b(\frac Cb)^3$ y $C-C^3/b^2\leq C-C^3/(1-C)^2$ que alcanza un valor máximo de $1/4$ en $[0,1]$ .

Answer 2

La restricción integral inicial significa que cada valor positivo de la función debe compensarse con un negativo correspondiente de igual peso (integral). Se quiere maximizar la integral del cubo de la función, lo que preservará la dirección de cada valor de la función, pero disminuirá la magnitud de los valores con magnitud inferior a uno. Intuitivamente, se quiere que la parte positiva sea igual a uno para que no disminuya cuando se cubra, y la parte negativa como un valor inferior a uno para que disminuya cuando se cubra. Así que, utilizando esta intuición, supongamos que definimos la función $f$ por:

$$f(x) \equiv \mathbb{I}(x \leqslant k) - \frac{k}{1-k} \cdot \mathbb{I}(x > k).$$

para algunos $0 \leqslant k \leqslant 1/2$ . Esta función obedece a las dos condiciones requeridas, y entonces tenemos:

$$I(k) \equiv \int \limits_0^1 f(x)^3 dx = \int \limits_0^k dx - \int \limits_k^1 \left( \frac{k}{1-k} \right)^3 dx = k - \frac{k^3}{(1-k)^2}.$$

Para todos $0 < k < 1/2$ que tenemos:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \frac{dI}{dk}(k) &= 1 - \frac{3k^2 (1-k)^2 + 2 k^3 (1-k)}{(1-k)^4} \\ &= \frac{(1-k)^3 - 3k^2 (1-k) - 2 k^3}{(1-k)^3} \\ &= \frac{1-3k+3k^2-k^3 - 3k^2 + 3k^3 - 2 k^3}{(1-k)^3} \\ &= \frac{1 - 3k}{(1-k)^3}, \\ \frac{d^2 I}{dk^2}(k) &= \frac{-3(1-k)^3 - 3(1-3k)(1-k)^2}{(1-k)^6} \\ &= \frac{-3(1-k) - 3(1-3k)}{(1-k)^4} \\ &= \frac{-3 +3k - 3+9k}{(1-k)^4} \\ &= -6 \cdot \frac{1 - 2k}{(1-k)^4} <0. \end{aligned} \end{equation}$$

Por lo tanto, tenemos una función cóncava con valor maximizador $\hat{k} = 1/3$ y el valor máximo:

$$\max_{0 \leqslant k \leqslant 1/2} I(k) = I (\hat{k}) = \frac{1}{4}.$$

Sospecho que este es probablemente el valor máximo. Intuitivamente, no veo cómo se podría mejorar esto, ya que la forma funcional intuitiva anterior me parece que es la que maximizará la integral del cubo.