$\mathbb{R}^1$ -bundle $\xi$ posee la métrica euclidiana si $\xi$ representa un elemento de orden $\le2$

Question

El conjunto de clases de isomorfismo de $1$ -de haces vectoriales sobre $B$ forma un grupo abeliano con respecto a la operación de producto tensorial. ¿Cómo puedo ver que un $\mathbb{R}^1$ -bundle $\xi$ posee una métrica euclidiana si y sólo si $\xi$ representa un elemento de orden $\le2$ en este grupo?

Un haz vectorial euclidiano es un haz vectorial real $\xi$ junto con una función continua $$\mu: E(\xi) \to \mathbb{R}$$ tal que la restricción de $\mu$ a cada fibra de $\xi$ es positiva definida y cuadrática. La función $\mu$ se llamará métrica euclidiana sobre el haz vectorial $\xi$ .

Answer 1

Como se indica en el comentario de @MikeMiller, esto se puede ver en términos de cociclos. Alternativamente, se puede observar que las dos condiciones que se consideran son equivalentes a $\xi\cong\xi^*$ , donde $\xi^*$ es el haz dual de $\xi$ .

Desde $\mu$ define un producto interno en cada fibra de $\xi$ da lugar a un isomorfismo $\xi\cong\xi^*$ . Ahora $\xi\otimes\xi^*$ es isomorfo a $L(\xi,\xi)$ y por tanto canónicamente trivial. Por lo tanto, $\xi\cong\xi^*$ implica que $\xi\otimes\xi$ es trivial, por lo que $\xi$ es un elemento de orden dos.

Por último, si $\xi\otimes\xi$ es trivial, la propia trivialización define una forma cuadrática en cada fibra de $\xi$ . Tomando el negativo de la trivialización (en algunas componentes conectadas) si es necesario, se puede hacer esta definición positiva, definiendo así $\mu$ .