La pregunta es evaluar $$\int_{\pi/2}^{5\pi/2} \frac{e^{\tan^{-1} \sin x}}{e^{\tan^{-1} \sin x}+e^{\tan^{-1} \cos x}}dx$$
Traté de tomar idea de la gráfica de $\tan^{-1} \tan x$ y reescribir la integral como $$\int_{\pi/2}^{5\pi/2} \frac{e^{\tan^{-1} \sin x}}{e^{\tan^{-1} \sin x}+e^{\tan^{-1} -\cos x}}dx$$.No podía continuar a partir de aquí.Alguna idea?Gracias.
En cumplimiento de la sustitución de $x=\pi/2 -y$ vemos que
$$\begin{align} I&=\int_{\pi/2}^{5\pi/2}\frac{e^{\arctan(\sin(x))}}{e^{\arctan(\sin(x))}+e^{\arctan(\cos(x))}}\,dx\\\\ &=\int_0^{2\pi}\frac{e^{\arctan(\cos(y))}}{e^{\arctan(\cos(y))}+e^{\arctan(\sin(y))}}\,dy\tag 1 \end{align}$$
Tomando nota de que el integrando es $2\pi$-periódico, podemos escribir
$$\int_0^{2\pi}\frac{e^{\arctan(\cos(y))}}{e^{\arctan(\cos(y))}+e^{\arctan(\sin(y))}}\,dy=\int_{\pi/2}^{5\pi/2}\frac{e^{\arctan(\cos(y))}}{e^{\arctan(\cos(y))}+e^{\arctan(\sin(y))}}\,dy \tag 2$$
El uso de $(2)$ $(1)$ vemos que
$$I=\int_{\pi/2}^{5\pi/2}\frac{e^{\arctan(\cos(x))}}{e^{\arctan(\sin(x))}+e^{\arctan(\cos(x))}}\,dx \tag 3$$
Por lo tanto, mediante la adición de $(1)$ $(3)$ y dividiendo por $2$ se obtiene el codiciado resultado
$$\int_{\pi/2}^{5\pi/2}\frac{e^{\arctan(\sin(x))}}{e^{\arctan(\sin(x))}+e^{\arctan(\cos(x))}}\,dx=\pi$$
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