¿Cuál es la diferencia entre las dos declaraciones de $\varepsilon-N$ definición?

Question

Aquí es una tarea pregunta, VERDADERO/FALSO:

$$\lim_{n\to\infty}a_n=a\Longleftrightarrow$$

1. $\forall\varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb{Z^+},\ \text{whenever}\ n>N\Rightarrow|a_n-a|<\varepsilon$. Respuesta: VERDADERO
   

2. $\exists N\in\mathbb{Z^+},\forall\varepsilon>0,\ \ \text{whenever}\ n>N\Rightarrow|a_n-a|<\varepsilon$. Respuesta: FALSO
   

Estoy confundido porque ¿cuál es la diferencia entre 1 y 2 (o decir por qué Nº 2 está mal)?
Gracias!

Answer 1

La primera declaración es la definición de convergencia de la secuencia de $\{a_n\}$$a$; no importa lo cerca que quieren los términos de la secuencia para llegar a $a$ (es decir, dentro de $\varepsilon$), después de un número finito de términos (es decir, $N$ de ellos), la secuencia será la estancia que cerrar.

La segunda declaración se dice que después de un número finito de términos (es decir, $N$ de ellos) la secuencia satisface $|a_n - a| < \varepsilon$ por cada $\varepsilon > 0$. Esto es equivalente a decir que, después de la primera $N$ términos, $a_n = a$, es decir, la secuencia es el tiempo constante. Esto no es equivalente a la convergencia, debido a que no todos los convergente de la secuencia es el tiempo constante (pero cada eventualmente constante sucesión es convergente, por lo que la segunda declaración implica $\lim\limits_{n\to\infty}a_n = a$, pero no es equivalente). Por ejemplo, la secuencia dada por $a_n = \frac{1}{n}$ converge a $0$ pero finalmente no constante.

Answer 2

Tenga en cuenta que $N$ a menudo depende de el valor de $\varepsilon$, $$N = N(\varepsilon)$$ no de un solo tamaño (de $N$) fits all ($\varepsilon$ retos)".

Answer 3

En el primer caso estamos diciendo que para cada $\epsilon > 0$ hay$N \in \mathbb{Z}^+$, de modo que el resto se mantiene. En el segundo caso, usted está diciendo que hay un $N \in \mathbb{Z}^+$, de modo que $\forall \epsilon > 0$ el siguiente titular.

Si esta distinción no es clara pensar acerca de $a_n = \frac{1}{n}$. Para la primera definición es claro que $N = \lfloor \frac{1}{\epsilon} \rfloor +1$, de modo que el siguiente tiene, pero si tenemos en cuenta la segunda definición, nunca hay una sola $N$, de modo que la declaración se aplica a todos los $\epsilon > 0$. Si quieres una prueba de que a continuación, asumir que existe un $N$ es decir $$\forall \epsilon > 0 \; \frac{1}{n} < \epsilon \; \forall n \ge N$$ pero lo que si $\epsilon = \frac{1}{2N}$, entonces se debe sostener que $$\frac{1}{N} < \frac{1}{2N}$$ pero esta es sin duda una contradicción.

Answer 4

Nota: el orden en que se aplican los cuantificadores no importa.

Más en general, vamos a $P(x,y)$ ser una propiedad de $x,y$: $$\exists x: \forall y \ P(x,y) \nLeftrightarrow \forall y, \exists x: P(x,y).$$

por ejemplo, considere las siguientes dos declaraciones, por simplicidad, para mostrar que este no es el caso:

$S_1: \forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}:y>x$ (es decir, para cada número real $x$, hay algún otro número real $y$ que es mayor que $x$). Esto es cierto.

Ahora vamos a intercambiar el orden de los cuantificadores:

$S_2: \exists y \in \mathbb{R}: \forall x \in \mathbb{R}, y>x$ (es decir, existe algún número real $y$ que es mayor que todos los números reales). Esto es falso (como $\mathbb{R}$ es ilimitado arriba).

Este ejemplo muestra que, al cambiar el orden en que se aplican los cuantificadores afecta a la declaración.

La misma idea se aplica en su caso.

Answer 5

La primera es la afirmación correcta. Dice: no importa cuán pequeño $\epsilon$ es, siempre se puede elegir una lo suficientemente grande como $N$, de modo que todos los $a_n$ está dentro de $\epsilon$ $a$ siempre $n>N$. La segunda declaración se dice algo muy diferente. Se dice que si yo la mano de algunos grandes entero $N$, entonces no importa cuán pequeño $\epsilon$ es, $a_n$ está dentro de $\epsilon$ $a$ siempre $n>N$. Esta segunda afirmación es claramente falsa. Por ejemplo, después de que yo te de $N$, simplemente elija $\epsilon$ menor que en alguna diferencia $|a_n-a|$$n>N$.