$4 \times 4$ matriz y su inversa. Es mi método ok?

Question

He estado luchando para derivar la matriz inversa de a $4 \times 4$ Lorenz matriz $\Lambda$. $$ \Lambda = \begin{bmatrix} \gamma&0&0&-\beta \gamma \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ -\beta \gamma & 0 & 0 & \gamma \end{bmatrix} $$

Mi profesor dice que la inversa es:

$$ \Lambda^{-1} = \begin{bmatrix} \gamma&0&0&\beta \gamma \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ \beta \gamma & 0 & 0 & \gamma \end{bmatrix} $$

Soo he intentado derivar inversa de la matriz $\Lambda^{-1}$ usando adjunta fórmula:

$$\Lambda^{-1} = \frac{1}{|\Lambda|} \textrm{adj}(\Lambda)$$

Me hizo bastante metodically por primera calcular el determinante de a $\Lambda$, entonces la matriz de los menores de edad, la matriz de cofactores, matriz adjunta y en la final utilizando la fórmula anterior para encontrar la inversa (aquí está toda mi derivación). Larga historia corta, al final termino con esto:

$$ \Lambda^{-1} = \frac{1}{|\Lambda|} \textrm{adj}(\Lambda) = \frac{1}{\gamma^2 (1 - \beta^2)} \begin{bmatrix} \gamma & 0 & 0 &\beta \gamma\\ 0 & \gamma^2(1-\beta^2) & 0 & 0\\ 0 & 0 & \gamma^2(1-\beta^2) & 0\\ \beta \gamma & 0 & 0 & \gamma\\ \end{bmatrix} $$

El resultado no es lo que mi profesor me dice que debe conseguir. En mi matriz adjunta partes con $\gamma$ $\beta \gamma$ parece mal.

Es posible que mi profesor escribió mal inversa de la matriz? Podría alguien que me señale en la dirección correcta? Estoy un poco perdido aquí, pero estoy seguro de que he hecho un montón de trabajo y estoy cerca de la solución.

Answer 1

En la relatividad especial, la cantidad de $\gamma$ se define como $$\gamma^2=\frac{1}{1-\beta^2},$$ de modo que su resultado, de hecho, de acuerdo con su profesor.

Para ser totalmente explícito, $\beta=v/c$ es un one-dimensional de la velocidad en las unidades de la velocidad de la luz, y $\gamma=1/\sqrt{1-(v/c)^2}$ es el factor que se muestra en todos los cálculos, en especial de la relatividad de einstein (ver Factor de Lorentz)

Answer 2

Depende de qué es exactamente lo que quieren demostrar. Si te dan dos fórmulas para matrices y demostrarles que inversos el uno del otro, simplemente multiplicar fuera me usualy ser mucho más simple de ellos enchufar uno en la adjunta de la fórmula y la comprobación de que se le da a la otra. (Que la computación en la $16$ escalares productos en función del $16$ orden$3$ determinantes y una orden-$4$ determinante como bono.)

Answer 3

Si lo que usted necesita saber es que si el cálculo fue ok, entonces la pregunta ha sido contestada. Sin embargo, es importante notar que en realidad no tiene para invertir esta matriz. Si se conoce el efecto de $\Lambda$ $-$rotación en el $z$-$ct$ avión$-$, y $$ \Lambda=\begin{bmatrix} \gamma&0&0&-\beta \gamma \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ -\beta \gamma & 0 & 0 & \gamma \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \cosh \phi&0&0&-\sinh\phi \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ -\sinh \phi & 0 & 0 & \cosh \phi \end{bmatrix} =\exp(-\phi K_3),$$ donde $$ K_3=\begin{bmatrix} 0&0&0&1\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 1&0&0&0 \end{bmatrix} $$ La última igualdad se sigue de la expansión de la exponencial. Observe que $K_3^2=$diag$(1,0,0,1)$.

Entonces la inversa de esta rotación es $\Lambda^{-1}=\exp(+\phi K_3)$, que es

$$ \Lambda^{-1} =\begin{bmatrix} \cosh \phi&0&0&-\sinh\phi \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ -\sinh \phi & 0 & 0 & \cosh \phi \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \gamma&0&0&+\beta \gamma \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ +\beta \gamma & 0 & 0 & \gamma \end{bmatrix}. $$

En términos físicos, la velocidad de $\beta$ parametrizes la rotación, y en esta matriz es el único parámetro. Cambia el sistema de referencia a otro que se mueve a lo largo de la $z$ eje con velocidad de $c\beta$. Por lo tanto, por el valor del parámetro $-\beta$ se encuentra la inversa.