fundamental lema para el cálculo variacional

Question

Es posible usar el lema fundamental del cálculo de variaciones en cierta manera en el siguiente caso: $F(x,y)$ es localmente integrable de la función en $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n$. Sabemos que para todos los $g,h \in C^{\infty}_{c}(\mathbb{R^n})$

$ \int_{\mathbb{R}^n} \int_{\mathbb{R}^n} F(x,y) g(x) h(y) dxdy = 0. $

Es posible conseguir $F(x,y) = 0$ en casi todas partes?

Answer 1

Sí. Ver Lema 1 en esta respuesta, que dice que es suficiente para demostrar $$\iint_{R_1\times R_2} F(x, y)\, dxdy=0$$ para cualquier par $R_1, R_2$ de los rectángulos en $\mathbb{R}^n$. Ahora la función característica $\chi_{R_1\times R_2}(x, y)$ factores como $\chi_{R_1}(x)\chi_{R_2}(y)$ y puede ser aproximada por un producto $g(x)h(y)$ donde $g, h\in C^\infty_c(\mathbb{R}^n)$ (véase el Lema 2 de la citada respuesta para más detalles sobre esto).

P. S.: acabo de darme cuenta de que podríamos igualmente el uso de la transformada de Fourier enfoque por Zarrax. Deje $\phi, \psi\in C^{\infty}_c(\mathbb{R}^n)$ arbitrarias, y tenga en cuenta que \begin{equation} \begin{split}\mathcal{F}\big[F(x,y)\phi(x)\psi(y)\big]_{(x,y)\to(\xi, \eta)}(\xi, \eta)&=\iint_{\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n}F(x, y)\left(\phi(x)e^{-ix\cdot\xi}\right)\left(\psi(y)e^{-iy\cdot\eta}\right)\, dxdy\\ &=0 \end{split} \end{equation} por supuesto. Por lo tanto, la función de $F(x,y)\phi(x)\psi(y)$ se desvanece, y desde $\phi$ $\psi$ fueron arbitrarias, podemos concluir que $F(x, y)$ desaparece en casi todos los $(x, y)\in\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n$.

Answer 2

Creo que se puede utilizar la Piedra teorema de Weierstrass en este caso :

Un ser de una subalgebra de $C(\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n,\mathbb{R})$ que no contienen cero constante de las funciones es denso si y sólo si se separa puntos.

En su caso, si usted elige $$A=\{G(x,y)=\sum_{i\in I} f_i(x)g_i(y): f_i,g_i\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)\}$$

Obviamente contiene constante de funciones y se puede demostrar que separa puntos. Entonces es denso en $C(\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n ,\mathbb{R})$, y estoy casi seguro de que es denso en $L^1_{loc}$.

A continuación,$A^\perp=\{0\}$$F(x,y)=0$.

Realmente no estoy seguro acerca de esto, pero esto podría ser un punto de partida....