Integración de funciones racionales - Problema con demostración relativa a soluciones complejas

Question

$\quad$ Estaba repasando la integración de funciones racionales, y todo iba bien hasta que vi este trozo, al final de la explicación: (traducido del portugués por mí)

$\qquad \qquad\text{with }x^2+bx + c \text{being a polynomial with } \alpha\pm \beta i\text{ as roots (no real roots),}$ $\qquad\qquad\text{ and using the previous variable change,} \text{ it is a good exercise to prove that:}$

$$\int \left( {D+Ex \over x^2+bx+c}\right)dx = \frac E2 \ln[(x-\alpha)^2+\beta^2] + {D+E\alpha\over \beta} \arctan\left({x-\alpha\over\beta}\right) + C$$

El cambio de variable sugerido fue $x-\alpha = \beta t$

Puedo acercarme, pero siempre termino con un factor de $\frac1\beta$ que no debería estar ahí. Esto es lo que tengo:

$\quad$ desde $\alpha \pm \beta i$ son las raíces del polinomio, podemos escribir $x^2+bx+c$ como $(x-\alpha)^2+\beta^2$ .

$$\text{From the variable change, we get:}$$

$$x-\alpha=\beta t\qquad x=\beta t+\alpha\qquad t={x-\alpha\over\beta}$$

Así que:

$$\int \left( {D+Ex \over x^2+bx+c}\right)dx = \int \left( {D+Ex \over (x-\alpha)^2 +\beta^2} \right)dx$$

Realización de la modificación de la variable:

$$(...)=\int \left( {D+E(\alpha +\beta t) \over \beta^2 t^2 + \beta^2}\right)dt = \int \left( {D+E\alpha +E\beta t) \over \beta^2 t^2 + \beta^2}\right)dt = \int \left( {E\beta t \over \beta^2 t^2 + \beta^2} + {D+E\alpha \over \beta^2 t^2 + \beta^2}\right)dt = \int \left( {E\beta t \over \beta^2 t^2 + \beta^2}\right)dt + \int\left({D+E\alpha \over \beta^2 t^2 + \beta^2}\right)dt$$

Vamos a resolverlos por separado:

$$\int \left( {E\beta t \over \beta^2 t^2 + \beta^2}\right)dt = \int \left( {E\over 2\beta} {2\beta^2 t \over\beta^2t^2 + \beta^2}\right)dt$$

Ahora tenemos un caso de ${f'(t)\over f(t)}$ , donde $f(t)= \beta^2 t+\beta^2$ y $f'(t) = 2\beta^2 t$

$$(...)= {E\over 2\beta} \ln|\beta^2 t+\beta^2| + C_1$$ yendo de t a x: $$(...)= \frac E2 \frac 1\beta \ln|\beta^2 {(x-\alpha)^2\over \beta^2} + \beta^2| + C_1= \frac E2 \frac 1\beta \ln|(x-\alpha)^2 + \beta^2|+ C_1$$

$\quad$ Ahora, la segunda integral: $$\int \left({ D+E\alpha \over\beta^2t^2 + \beta^2}\right)dt = \int \left( (D+E\alpha) {1\over\beta^2t^2 + \beta^2}\right)dt = {D+E\alpha\over \beta^2}\int\left( {1\over t^2 +1}\right)dt$$

Así que ahora tenemos ${f'(t)\over f(t)^2+1}$ , donde $f(t) = t$ y, por supuesto, $f'(t) = 1$ :

$$(...) = {D+E\alpha\over \beta} \frac 1\beta \arctan(t) + C_2$$ volviendo a x: $$(...) = {D+E\alpha\over \beta} \frac 1\beta \arctan\left({x-\alpha\over\beta}\right) + C_2$$

Así que: $$\int \left( {D+Ex \over x^2+bx+c}\right)dx = \frac E2 \frac 1\beta \ln|(x-\alpha)^2 + \beta^2| + {D+E\alpha\over \beta} \frac 1\beta \arctan\left({x-\alpha\over\beta}\right) + C_1+ C_2 = \frac 1\beta \left[\frac E2 \ln|(x-\alpha)^2 + \beta^2| + {D+E\alpha\over \beta} \arctan\left({x-\alpha\over\beta}\right)\right] + C$$

Comparando este resultado con lo que intentábamos demostrar, está claro que la presencia de $\frac1\beta$ (También podría ser multiplicar C, ya que C no es un número concreto). Así que... he mirado esto una y otra vez, y no puedo encontrar una multiplicación por $\beta$ o cualquier otro error que pueda explicar esta diferencia entre mi resultado y el correcto. ¿Alguna ayuda?

Edición: Muy bien, esto es un poco borroso en mi memoria, así que corrígeme si me equivoco, pero al cambiar de $\int dt$ a $\int dx$ Tengo que multiplicar la expresión por $(\beta t + \alpha)' = \beta$ ...¿verdad? Eso explicaría mi error...

Answer 1

Te has olvidado de multiplicar por la derivada cuando has hecho la sustitución.Tienes que multiplicar por $\dfrac{dx}{dt}(t)\color{grey}{=\beta}$ y tus problemas se acabaron.

Teorema: Dejemos que $I,J$ sean dos intervalos no triviales, $f\colon I\to \Bbb R$ una función y $\varphi \colon J\to I$ una biyección diferenciable.
Si $f$ tiene una antiderivada (en $I$ ), entonces $$\int f(x)\, \mathrm dx = \int f(\varphi (t))\varphi '(t)\,\mathrm dt.$$

En su ejemplo $\varphi$ es la función $t\mapsto \beta t+\alpha.$

Answer 2

Siempre se puede comprobar una integración indefinida mediante la diferenciación. Inténtalo con $\alpha = 0$ , $\beta = 2$ .