$\quad$ Estaba repasando la integración de funciones racionales, y todo iba bien hasta que vi este trozo, al final de la explicación: (traducido del portugués por mí)
$ \qquad \qquad\text{with }x^2+bx + c \text{being a polynomial with } \alpha\pm \beta i\text{ as roots (no real roots),} $ $\qquad\qquad\text{ and using the previous variable change,} \text{ it is a good exercise to prove that:}$
$$\int \left( {D+Ex \over x^2+bx+c}\right)dx = \frac E2 \ln[(x-\alpha)^2+\beta^2] + {D+E\alpha\over \beta} \arctan\left({x-\alpha\over\beta}\right) + C $$
El cambio de variable sugerido fue $x-\alpha = \beta t$
Puedo acercarme, pero siempre termino con un factor de $\frac1\beta$ que no debería estar ahí. Esto es lo que tengo:
$\quad$ desde $\alpha \pm \beta i$ son las raíces del polinomio, podemos escribir $x^2+bx+c$ como $(x-\alpha)^2+\beta^2$ .
$$\text{From the variable change, we get:}$$
$$x-\alpha=\beta t\qquad x=\beta t+\alpha\qquad t={x-\alpha\over\beta}$$
Así que:
$$\int \left( {D+Ex \over x^2+bx+c}\right)dx = \int \left( {D+Ex \over (x-\alpha)^2 +\beta^2} \right)dx$$
Realización de la modificación de la variable:
$$(...)=\int \left( {D+E(\alpha +\beta t) \over \beta^2 t^2 + \beta^2}\right)dt = \int \left( {D+E\alpha +E\beta t) \over \beta^2 t^2 + \beta^2}\right)dt = \int \left( {E\beta t \over \beta^2 t^2 + \beta^2} + {D+E\alpha \over \beta^2 t^2 + \beta^2}\right)dt = \int \left( {E\beta t \over \beta^2 t^2 + \beta^2}\right)dt + \int\left({D+E\alpha \over \beta^2 t^2 + \beta^2}\right)dt$$
Vamos a resolverlos por separado:
$$\int \left( {E\beta t \over \beta^2 t^2 + \beta^2}\right)dt = \int \left( {E\over 2\beta} {2\beta^2 t \over\beta^2t^2 + \beta^2}\right)dt$$
Ahora tenemos un caso de ${f'(t)\over f(t)}$ , donde $f(t)= \beta^2 t+\beta^2$ y $f'(t) = 2\beta^2 t$
$$(...)= {E\over 2\beta} \ln|\beta^2 t+\beta^2| + C_1$$ yendo de t a x: $$(...)= \frac E2 \frac 1\beta \ln|\beta^2 {(x-\alpha)^2\over \beta^2} + \beta^2| + C_1= \frac E2 \frac 1\beta \ln|(x-\alpha)^2 + \beta^2|+ C_1$$
$\quad$ Ahora, la segunda integral: $$\int \left({ D+E\alpha \over\beta^2t^2 + \beta^2}\right)dt = \int \left( (D+E\alpha) {1\over\beta^2t^2 + \beta^2}\right)dt = {D+E\alpha\over \beta^2}\int\left( {1\over t^2 +1}\right)dt$$
Así que ahora tenemos ${f'(t)\over f(t)^2+1}$ , donde $f(t) = t$ y, por supuesto, $f'(t) = 1$ :
$$(...) = {D+E\alpha\over \beta} \frac 1\beta \arctan(t) + C_2$$ volviendo a x: $$(...) = {D+E\alpha\over \beta} \frac 1\beta \arctan\left({x-\alpha\over\beta}\right) + C_2$$
Así que: $$\int \left( {D+Ex \over x^2+bx+c}\right)dx = \frac E2 \frac 1\beta \ln|(x-\alpha)^2 + \beta^2| + {D+E\alpha\over \beta} \frac 1\beta \arctan\left({x-\alpha\over\beta}\right) + C_1+ C_2 = \frac 1\beta \left[\frac E2 \ln|(x-\alpha)^2 + \beta^2| + {D+E\alpha\over \beta} \arctan\left({x-\alpha\over\beta}\right)\right] + C $$
Comparando este resultado con lo que intentábamos demostrar, está claro que la presencia de $\frac1\beta$ (También podría ser multiplicar C, ya que C no es un número concreto). Así que... he mirado esto una y otra vez, y no puedo encontrar una multiplicación por $\beta$ o cualquier otro error que pueda explicar esta diferencia entre mi resultado y el correcto. ¿Alguna ayuda?
Edición: Muy bien, esto es un poco borroso en mi memoria, así que corrígeme si me equivoco, pero al cambiar de $\int dt$ a $\int dx$ Tengo que multiplicar la expresión por $(\beta t + \alpha)' = \beta$ ...¿verdad? Eso explicaría mi error...
