Contraejemplo a dos caras límite debe ser igual a uno de los límites laterales si es que existen y son iguales

Question

Nos enteramos de que los dos lados del límite debe ser igual a los límites laterales si ambos existen y son iguales. Y yo no puedo hacerlo, porque yo creo que he encontrado un contraejemplo (odio cuando esto sucede!).

Considere la posibilidad de $f(x) = (1 \text{ if } x=0)(0 \text{ otherwise})$. Si tenemos una secuencia $x_n$ $x_n <0$ todos los $n \in \mathbb{N}$$\lim_{n\to \infty} x_n= 0$, luego tenemos a $\lim_{n\to\infty} f(x_n) = 0$. Por lo tanto,$\lim_{x\to 0^-} f(x) = 0$. Asimismo,$\lim_{x\to 0^+} f(x) = 0$. Por lo tanto, debe ser cierto que $\lim_{x\to 0} f(x) = 0$

Pero $(x_n) = (0,0,0,0,\ldots)$ es una secuencia de con $\lim_{n\to\infty} x_n= 0$$\lim_{n\to\infty}= f(x_n) = 1$. Por lo tanto, el límite no existe!

Gracias de antemano.

Answer 1

Usted no está utilizando la definición correcta de (a dos caras) límite. Decimos que $\lim_{x\to a}f(x)=b$ si para cada a $\epsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que para todos los $x$ $\color{red}{0<}|x|<\delta$ tenemos $|f(x)-b|<\epsilon$.

Como usted ha observado, puede suceder que hay secuencias con $\lim_{n\to\infty}x_n=a$$\lim_{n\to\infty} f(x_n)\ne \lim_{x\to a}f(x)$.

Answer 2

Definición: (continuidad en un punto)

Si $f(x)$ está definida en un intervalo abierto que contiene a$c$, $f(x)$ se dice continua en $c$ si y sólo si $$\lim_{x \rightarrow c} f(x) = f(c)$$

En su caso $c=0$ $f(0)=1$ pero $\lim_{x \to 0 }f(x)=0$. El límite de $f(x)$ se refiere a la conducta de las $f$ $x$ enfoques de la cuestión. Esto tiene que ver mucho con la comprensión de la noción de límite, así que tu pregunta es de hecho muy significativo. Como usted "stand en $f$" y que el enfoque de $x=0$, entonces usted estará acercándose $0$. Pero exactamente en $0$, $f$ hace un salto. Este no es el límite, este es el valor de $f$$x=0$.