¿Existe una subsecuencia "natural" de enteros positivos $k_1 < k_2 < \ldots$ tal que $\sum_{i=1}^n \frac{1}{k_i} = \Theta (\log \log \log n)$?

Question

Las sumas parciales de la serie armónica crecen como $\log n$, y la suma de los inversos de los primeros $n$ números primos crece como $\log \log n$. ¿Existe un ejemplo de un subconjunto "natural" de los enteros positivos (digamos un subconjunto definido por alguna propiedad interesante, como ser un número primo por ejemplo) tal que la suma de inversos de los primeros $n$ números crezca como $\log \log \log n$?

Answer 1

$$k_n=1+\left\lfloor n\cdot\log n\cdot\log\log n\right\rfloor$$ Prueba: $\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\log\log\log x=\dfrac1{x\cdot\log x\cdot\log\log x}$.