Familia en las transformaciones del espacio

Question

Supongamos que tenemos dos vectores $u, v \in \mathbb{R}^n$ de manera tal que el ángulo entre ellos es agudo ($u^Tv > 0$). Quiero demostrar que no son tales unitaria de transformación, que los mapas de este vector para el primer octante. Además quiero probar que el mapa puede ser representado como un producto de dos Casado reflexiones.

Mi idea es que si elegimos un 2-dimensional plano que contiene los vectores $(1, 0,0,...,0)^T$ $(0, \frac{1}{\sqrt{n-1}}, \frac{1}{\sqrt{n-1}}, ..., \frac{1}{\sqrt{n-1}})^T$ y un mapa de vectores $u$ $v$ manera tal que se encuentra en este plano y bisetor entre el $u$ $v$ mapas vectoriales $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2\sqrt{n-1}}, \frac{1}{2\sqrt{n-1}}, ..., \frac{1}{2\sqrt{n-1}})^T$ entonces tenemos necesario transformar. Así que debido a la longitud son reservados, este mapa es unitaria. Esta es la prueba de que dicho mapa. Pero todavía no se puede encontrar dos matrices de Householder que la representan.

Gracias por la ayuda!

Answer 1

Aquí está una idea aproximada. Usted puede asumir que $u$ $v$ son vectores unitarios. Elija cualquiera de los dos vectores unitarios $u''$ $v''$ dentro del primer octante subtiende el mismo ángulo en el origen como $u$ $v$ do. Considerar las bisectrices de los ángulos $b=\frac{u+v}2$$b''=\frac{u''+v''}2$. Aplicar una Familia en la reflexión $H$ sobre el plano ortogonal a $b-b''$, por lo que el $b$ se asigna a $b''$.

Deje que las imágenes de $u'=Hu$$v'=Hv$. Por tanto, el avión $P'$ que pasa por el origen y $u',v'$ y el avión $P''$ que pasa por el origen y $u'',v''$ ha $b''$ como un eje. Deje $R$ ser un plano que contiene el eje y biseca el ángulo subtendido por $P'$$P''$. Realizar una reflexión acerca de las $R$. A continuación, el par ordenado $(u',v')$ se asignan a $(u'',v'')$ o $(v'',u'')$.