Desea comprender un conjunto de notación

Question

No puedo picture $$\bigcap \{X\subseteq A| F(X)\subseteq X\}$$ en mi cabeza. Tal vez yo podría entender mejor en la lógica simbólica. ¿Cómo se escribe en la lógica simbólica ?

Answer 1

Asumo $F$ es una función de$A$$A$. Rasmus explicación es correcta, la notación $$\bigcap \{X\subseteq A| F(X)\subseteq X\}$$ se refiere a la intersección (es decir,$\bigcap$) de todos los subconjuntos de a $X$ $A$ ( $X\subseteq A$ ) tal que (este es el símbolo $\mid$; véase el set-generador de notación) la imagen de $X$ bajo $F$ está contenido en $X$ ($F(X)\subseteq X$).

Si $F$ es una función de$A$$A$, este conjunto es vacío, como $\varnothing\subseteq A$ es un subconjunto de a $A$ que $F(\varnothing)\subseteq\varnothing$.

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yunone hace que el punto en los comentarios de este post que $F$ podría ser una función de${\mathcal P}(A)$${\mathcal P}(A)$. En ese caso, la notación $$\bigcap \{X\subseteq A| F(X)\subseteq X\}$$ se refiere a la intersección (es decir,$\bigcap$) de todos los subconjuntos de a $X$ $A$ ( $X\subseteq A$ ) tal que el conjunto de $F(X)\subseteq A$ que $F$ envía $X$ a está contenido en $X$ ($F(X)\subseteq X$).

Answer 2

$$\bigcap \{X\subseteq A| F(X)\subseteq X\}$$

Es la intersección de todos los conjuntos de $X$ tal que $X$ es un subconjunto de a$A$$F(X) \subseteq X$.

Así que en términos de la lógica:

$$x \in \left( \bigcap \{X\subseteq A| F(X)\subseteq X\} \right) \Leftrightarrow (\forall X | X \subseteq A \land F(X) \subseteq X )( x \in X )$$

Answer 3

Editado. Es poco probable que $F$ es la inducida por la función de un mapa de $F\colon A\to A$, porque en ese caso la intersección dada necesariamente debería estar vacío. Editado para reflejar eso.

Bueno, es de suponer que usted tiene un conjunto $A$.

Ahora, recuerde que cuando usted tiene un conjunto de $A$, usted también tiene el poder conjunto de $A$, que es un conjunto cuyos elementos son los subconjuntos de a $A$. El juego de poder de $A$ es a menudo representa algo así como la $\mathcal{P}(A)$ o $\mathfrak{P}(A)$.

Por ejemplo, si $A=\{1,2,3\}$, luego $$\mathcal{P}(A) = \Bigl\{ \emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \{1,2,3\}\Bigr\},$$ porque esos son exactamente los subconjuntos de a $A$.

Entonces, lo que tenemos es que un conjunto $X$ satisface $X\in\mathcal{P}(A)$ si y sólo si satisface $X\subseteq A$.

Cuando usted escribe: $$\bigl\{ X\subseteq A\mid \text{...stuff...}\}$$ usted está diciendo que usted desea considerar aquellos elementos de $\mathcal{P}(A)$ que satisfacer ...stuff...

Probablemente usted también tiene una función de $F\colon\mathcal{P}(A)\to\mathcal{P}(A)$. Si $X\in\mathcal{P}(A)$, $F(X)$ también es un subconjunto de a $A$, así que tiene sentido preguntar si $F(X)\subseteq X$. Por ejemplo, tomemos el $A$ me tomo anterior, y definir una función $F\colon\mathcal{P}(A)\to\mathcal{P}(A)$ como sigue: $$\begin{array}{rcl} \emptyset & \longmapsto & \{1,3\}\\ \{1\} &\longmapsto & \{2\}\\ \{2\} &\longmapsto & \emptyset\\ \{3\} &\longmapsto & \{1,2,3\}\\ \{1,2\} &\longmapsto & \{1\}\\ \{1,3\} &\longmapsto & \{1,2,3\}\\ \{2,3\} &\longmapsto & \{1,3\}\\ \{1,2,3\} & \longmapsto & \{3\}. \end{array}$$

So, suppose we had that $$ and that $F$. Cuál sería el set $$\Bigl\{ X\subseteq A \mid F(X)\subseteq X\Bigr\}\quad?$$ Mirando en la descripción anterior, vemos que los conjuntos que se asignan a los subconjuntos de los mismos son: $\{2\}$, $\{1,2\}$, y $\{1,2,3\}$.

Por último, ¿qué significa tomar la intersección de un conjunto único? Si $R$ es un conjunto cuyos elementos son conjuntos), a continuación, $\cap R$ es el resultado de la intersección de todos los elementos de a $R$; que es: $$\bigcap R = \Bigl\{ x \mid x\text{ is in }S\text{ for every element }S\in R\Bigr\}.$$ Así que, para mi ejemplo anterior, tendríamos: $$\begin{align*} \bigcap\Bigl\{X\subseteq A\mid F(X)\subseteq X\Bigr\} &= \bigcap\Bigl\{ \{2\},\ \{1,2\}\, \{1,2,3\}\Bigr\}\\ &= \{2\}\cap\{1,2\}\cap\{1,2,3\}\\ &= \{2\}. \end{align*}$$

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También es posible que su $F$ es en realidad una función de $A\to A$. Recuerde que cuando usted tiene una función de $F\colon R\to S$, automáticamente obtendrá otra función $\overline{F}\colon \mathcal{P}(R)\to\mathcal{P}(S)$ (que se llama la "imagen directa"), que se define por $$\overline{F}(X) = \{ F(x)\mid x\in R\}.$$ (Usted también consigue otra función, $\underline{F}\colon \mathcal{P}(S)\to\mathcal{P}(R)$, llamó a la "inversa" imagen", que se define por $$\underline{F}(Y) = \{ x\in R \mid F(x)\in Y\},$$ pero eso no importa ahora). La imagen directa de la función es a menudo, por abuso de notación, escrito sólo $F$ en lugar de $\overline{F}$. Por ejemplo, volviendo a $A=\{1,2,3\}$, supongamos que definen $F\colon A\to A$ por $F(1)=2$, $F(2)=2$, y $F(3)=1$. A continuación, la imagen directa de la función tiene los siguientes valores: $$\begin{align*} F(\emptyset) &= \emptyset,\\ F(\{1\}) &= \{F(1)\} = \{2\}\\ F(\{2\}) &= \{F(2)\} = \{2\}\\ F(\{3\}) &= \{F(3)\} = \{1\}\\ F(\{1,2\}) &= \{F(1),F(2)\} = \{2,2\} = \{2\}\\ F(\{1,3\}) &= \{F(1), F(3)\} = \{2,1\} = \{1,2\}\\ F(\{2,3\}) &= \{F(2),F(3)\} = \{2,1\} = \{1,2\}\\ F(\{1,2,3\}) &= \{F(1),F(2),F(3)\} = \{2,2,1\} = \{1,2\}. \end{align*}$$ En este caso, será necesario que el conjunto de $$\Bigl\{ X\subseteq A\mid F(X)\subseteq X\Bigr\}$$ consiste exactamente $\emptyset$, $\{2\}$, $\{1,2\}$, y $\{1,2,3\}$, por lo que $$\begin{align*} \bigcap\Bigl\{ X\subseteq A\mid F(X)\subseteq X\Bigr\} &= \bigcap\Bigl\{ \emptyset,\ \{2\},\ \{1,2\},\ \{1,2,3\}\Bigr\}\\ &= \emptyset\cap\{2\}\cap\{1,2\}\cap\{1,2,3\}\\ &=\emptyset. \end{align*}$$

The reason I don't think (upon reflection) that this is the situation you have is that if your $F$ is the direct image function of some map that goes from $$ to $$, entonces la expresión que tiene que siempre ser el conjunto vacío (intenta demostrar que, es bastante fácil).

Answer 4

La notación $\bigcap T$, para un no-vacía $T$, es el conjunto $\{x\mid \forall a\in T(x\in a)\}$.

Es decir, todos los elementos que se encuentran en todos los elementos de a $A$ (que son conjuntos de sí mismos).

Si $T$ es finito, por ejemplo,$T=\{A,B,C\}$$\bigcap T = A\cap B\cap C$. Si es infinito, entonces es un poco más corto y más claro para el uso de $\bigcap T$ lugar.

En tu caso concreto, significa que la intersección de todos los $X\in\mathcal P(A)$, con una cierta propiedad.