Cómo probar $\sum_{1\le i<j\le n}(a_{j}-a_{i}+1)^2+4\sum_{i=1}^{n}a^2_{i}\le \frac{5n^2+6n+4}{4}$

Question

Pregunta:

deje $$0\le a_{1}\le a_{2}\le\cdots\le a_{n}\le 1$$ mostrar que $$\sum_{1\le i<j\le n} a_{j}-a_{i}+1)^2+4\sum_{i=1}^{n}^2_{i}\le \begin{cases} \dfrac{5n^2+6n+4}{4}&n=2k\\ \dfrac{5n^2+6n+5}{4}&n=2k+1 \end{casos}$$

Este problema es de Matemáticas del examen de la prueba de la simulación.y me enamoré de esta suma no se puede tratar.Gracias

Answer 1

Sugerencia: Fix k. Suponga que para $i\neq k$, $a_i$ es fijo. Queremos maximizar el lado izquierdo. Se trata de un alza frente de segundo grado en $a_k$, por lo que alcanza su máximo en los extremos del intervalo. Por lo tanto $a_k= a_{k-1},a_{k+1}$.

Por lo tanto, todos los de la $a_i$ son de 1 o 0, por lo que ahora tiene n+1 ecuaciones para evaluar a encontrar el máximo. El máximo se logra cuando se dividen más o menos de manera uniforme', lo que explica por qué el par y el impar caso de tener diferentes límites.

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No en el equipo, puede proporcionar más detalles más adelante si es necesario. Pero usted debe tener suficiente trabajo.