Cuando se $CaCl(X) \to Pic(X)$ surjective?

Question

Tengo curiosidad acerca de las siguientes afirmaciones similares en la geometría algebraica y la geometría compleja:

La Geometría Algebraica Versión: Si $X$ es una parte integral del esquema, el mapa de Cartier divisor grupo de Picard de grupo (es decir, grupo de invertible poleas) $CaCl(X) \to Pic(X)$ es surjective.

La Geometría compleja de la Versión: Si $X$ es un complejo colector, a continuación, la imagen de $CaCl(X) \to Pic(X)$ es generado por esos línea de paquetes de $L \in Pic(X)$$H^0(X,L) \neq 0$.

Más interesingly, no es un comentario para el complejo de la versión:

Comentario: $CaCl(X) \to Pic(X)$ no puede ser surjective incluso para muy fácil colectores, por ejemplo, un genérico complejo toro de dimensión dos, este no es el caso.

Mi pregunta es doble:

Explícito: ¿Cómo justificar el anterior comentario, es decir, $CaCl(X) \to Pic(X)$ no puede ser surjective para un genérico complejo toro de dimensión dos.

Poco explícitas uno: Aunque no sé el significado exacto de la integral múltiple" (o el buen prototipo de integral esquema ), es evidente para mí que la "integralidad" es natural dotado de un complejo colector(supongo que está conectado). Y por lo tanto, la diferencia es bastante inesperado. ¿Cómo pudo salir, y lo razonable de la categoría a la garantía de la subjetividad.

Answer 1

Para cualquier complejo torus $X$ de la dimensión de $n$ el conjunto de clases de isomorfismo de holomorphic línea de paquetes de $Pic(X)$ es un grupo enorme: ya el grupo $Pic^0(X)$ de la línea de paquetes de $L$ con cero clase de Chern ($c_1(L)=0$) es en sí mismo un complejo de toro de dimensión $n$ , llama la doble toroide $\hat X=Pic^0(X)$.

Sin embargo, existen dos dimensiones complejas tori $X$ no tener curvas en todos , de modo que el conjunto de sus divisores es igual a cero (ver aquí) para un análisis detallado).

Así, por ejemplo tori no-trivial de la línea de paquete viene de un divisor.

Un "filosófica" explicación
Para la integral (= reducción de irreductible e) los sistemas de Hartshorne demuestra que cada línea de paquete viene de un divisor en la Proposición II,6.15
La prueba de los usos que las poleas que son constantes en algunas abrir la cubierta de $X$ son constantes en el conjunto de la $X$.
Esto es debido a la irreductibilidad: dos no vacía de subconjuntos abiertos de $X$ no tienen intersección vacía.
Pero esto es completamente falso para los complejos colectores desde un espacio de Hausdorff que contiene al menos dos puntos nunca es irreducible.
Una variante de esta explicación es que en un esquema integral de una función racional definida en un subconjunto del esquema, se extiende a una función racional en todo el esquema, mientras que el análogo resultado de meromorphic funciones en un complejo colector es completamente falso .