Encontrar el valor de una función cuya derivada es cero

Question

La función inicial es $$h(x)=\arcsin x + \arccos x$$ La derivada de esta función es $0$ desde $$h'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\equiv0$$

Esto significa que $h(x)$ es una función constante; ¿cómo puedo encontrar el valor de $h(x)$ ?

¿Podría alguien explicarlo?

Answer 1

Intenta poner $x=0$ - ya que la función es constante, cualquier valor conveniente servirá.

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Nota de precaución: cuidado con los dominios de definición de las funciones trigonométricas inversas.

Answer 2

@MarkBennet da la forma más fácil (en general) de averiguar el valor de una función una vez que sabes que es constante.

Sólo me extenderé aquí para dar una razón intuitiva de por qué esta función en particular es constante, lo que no depende de ningún cálculo:

$\arcsin x$ es la medida del ángulo cuyo seno es $x$ ; $\arccos x$ es la medida del ángulo cuyo coseno es $x$ . Hagamos un dibujo para ilustrar el primero:

La medida de este ángulo es $\theta$ Pero lo más importante es que esta imagen también incluye $\arccos x$ --el coseno del otro ángulo agudo es también $x$ .

Pero sabemos que la medida del otro ángulo es justo $\frac{\pi}{2}-\theta$ Así que cuando sumamos las dos medidas, obtenemos

$$h(x)=\arcsin x + \arccos x=\theta+\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\frac{\pi}{2}$$

(básicamente, no importa lo que $\theta$ es, se anula)

(es decir, en el fondo, este problema es sólo una forma elegante de decir: en un triángulo rectángulo, los dos ángulos agudos suman $90^\circ$ )

Answer 3

Tenga en cuenta que $\cos(x)=\sin(\frac{\pi}{2}-x)$ . Así, tomando $x=\arccos(y)$ y tomando el arcoseno, obtenemos $\arcsin(y)=\frac{\pi}{2}-\arccos(y)$ Por lo tanto $$\arcsin(x)+\arccos(x)=\frac{\pi}{2}$$