¿Por qué utilizamos $\left<\varphi,x\right>$ $\varphi(x)$ al $\varphi$ es un funcional lineal?

Question

Deje $V$ $K-$espacio vectorial y $V^*$ es doble. ¿Cuál es la motivación de la utilización de la notación $\left<\varphi,x\right>$$\varphi(x)$ ? Es una consecuencia del hecho de que \begin{align*} \left<\cdot ,\cdot \right>: V^*\times V&\longrightarrow K\\ (\varphi,x)&\longmapsto \left<\varphi,x\right>=:\varphi(x) \end{align*}

sería un producto escalar ? Pero se ve extraña, ya que un producto escalar debe tomar el elemento de formulario de $V\times V$ o $V^*\times V^*$, pero no de la forma $V^*\times V$.

Answer 1

El hecho de que cualquier funcional lineal se puede expresar como un producto interior sólo es cierto si el espacio vectorial $V$ es un espacio de Hilbert.

Este es el contenido de la Representación de Riesz Teorema.

En este caso, un funcional lineal $\varphi(y)$ puede ser identificado con el interior del producto de un vector $x$$y$, de modo que podemos escribir $\varphi(y)=\langle x,y\rangle$. El funcional $\varphi$ y el vector $x$ son de doble y , con un abuso de notación, se utiliza el mismo símbolo para indicar a ellos, así que podemos escribir $\varphi(y)=\langle \varphi, y\rangle$, pero en realidad la segunda $\varphi$ es un elemento del espacio de hilbert y la primera es la del elemento correspondiente (por el Teorema de Riesz) en el espacio dual.

Answer 2

Para cualquier funcional lineal $\varphi$, existe un vector $v$ tal que $\varphi(x) = \langle v,x \rangle$ todos los $x$. Esto es en realidad una correspondencia uno a uno entre el$V^{*}$$V$. Por lo tanto sentido práctico para representar un funcional lineal $\varphi$ como un elemento de $V$, con la convención que $\varphi(x) = \langle \varphi,x \rangle$.

Answer 3

Como Lee Mosher, escribió en un comentario, los corchetes $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ son muy comunes para bilineal mapas. Estos son los mapas de $V\times W \to \mathbb{R}$ donde $V$ $W$ son reales, espacios vectoriales, de tal manera que $$ \langle ax+by,z\rangle = \langle x,z\rangle + b\langle y,z\rangle \quad\text{para$a,b\in\mathbb{R}$$x,y\in V$$z\in W$} \\ \langle x,ay+bz\rangle = \langle x,y\rangle + b\langle x,z\rangle \quad\text{para$a,b\in\mathbb{R}$$x\in V$$y,z\in W$.} $$ La notación para funcionales lineales es un caso especial donde $W = V^*$. (Lo escribí aquí para espacios vectoriales sobre los números reales, pero este funciona igual de bien para espacios vectoriales sobre otros campos, o incluso los módulos a través de los anillos.)

En cuanto a por qué esta notación se utiliza, no puedo estar seguro. Sin embargo, por experiencia puedo decir que a menudo es conveniente disponer de una notación que se ve más simétrica que la función de la aplicación, cuando se tienen dos espacios que se doble el uno al otro, pero no está claro que uno debe ser $V$ y que uno debe ser $V^*$ (después de todo, $(V^*)^*$ es sólo $V$ - al menos para sufficently agradable espacios).

Nota: En la mecánica cuántica, hay una muy similar llamado notación Bra-ket de notación. Si desea que el nombre de su estado cuántico $\psi$, se escribe $\mid \psi \rangle$. Si desea que el nombre de un elemento del espacio dual $\phi$, se escribe $\langle \phi \mid$. La evaluación de las $\phi$ $\psi$ a continuación, se escribe $\langle \phi \mid \psi\rangle$. Fue introducido por Paul Dirac en 1939, en Una nueva notación para la mecánica cuántica.

Answer 4

Al $V $ es un espacio de Hilbert (una situación muy común, por ejemplo, en la física), ha $V^*=V $, por lo que es un producto interior.