Calcular la integral de la $\int_{-6}^6 \! \frac{(4e^{2x} + 2)^2}{e^{2x}} \, \mathrm{d} x$

Question

Quiero resolver $\int_{-6}^6 \! \frac{(4e^{2x} + 2)^2}{e^{2x}} \, \mathrm{d} x$ pero me malos resultados:

$$\int_{-6}^6 \! \frac{(4e^{2x} + 2)^2}{e^{2x}} \, \mathrm{d} x = \int_{-6}^6 \! \frac{16e^{4x} + 16e^{2x} + 4}{e^{2x}} \, \mathrm{d} x$$

$$= \left[ \frac{(4e^{4x} + 8e^{2x} + 4x)2}{e^{2x}} \right]_{-6}^6 = \left[ \frac{8e^{4x} + 16e^{2x} + 8x}{e^{2x}} \right]_{-6}^6$$

$$= (\frac{8e^{24} + 16e^{12} + 48}{e^{12}}) - (\frac{8e^{-24} + 16e^{-12} - 48}{e^{-12}})$$

$$= e^{-12}(8e^{24} + 16e^{12} + 48) - e^{12}(8e^{-24} + 16e^{-12} - 48)$$

$$= 8e^{12} + 16 + 48e^{-12} - (8e^{-12} + 16 - 48e^{12})$$

$$= 8e^{12} + 16 + 48e^{-12} - 8e^{-12} - 16 + 48e^{12})$$

$$= 56e^{12} + 56e^{-12}$$

A donde voy mal?

Answer 1

$$\int_{-6}^6 \frac{(4e^{2x} + 2)^2}{e^{2x}} \, \mathrm{d} x= \int_{-6}^6 \frac{16e^{4x} + 16e^{2x}+ 4}{e^{2x}} \, \mathrm{d} x= \int_{-6}^6 16e^{2x} + 16+ 4e^{-2} \, \mathrm{d} x= \left[ 8e^{2x} + 16x-2e^{-2} \right]_{-6}^6= 8(e^{12}-e^{-12}) + 16\cdot 12 -2(e^{-12}-e^{12})= 192+ 10 e^{12}-10 e^{-12}$$

Usted puede comprobar tanto indefinido y definitiva integral en WolframAlpha.

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No estoy seguro de dónde está el error en la solución (ya que no entiendo qué es exactamente lo que he hecho), pero la mayoría de ustedes probablemente han utilizado $\int \frac{f(x)}{g(x)} \, \mathrm{d} x = \frac{\int f(x) \, \mathrm{d} x}{\int g(x)\, \mathrm{d} x}$, según lo sugerido por Gerry comentario. Esta fórmula es incorrecta.

Answer 2

$$I:=\int_{-6}^6 \frac{(4e^{2x} + 2)^2}{e^{2x}}\ dx$$

Deje $u=e^x, du = e^x \ dx$, lo que nos deja con:

$$\int_{e^{-6}}^{e^{6}} \frac{\left( 4u^2 + 2 \right)^2}{u^3} \ du$$

Expanda el numerador para obtener

$$\int_{e^{-6}}^{e^{6}} \frac{16u^4 + 16u^2 + 4}{u^3} \ du$$

Desde el más alto poder en el numerador es mayor que la máxima potencia en el denominador, tenemos que hacer una división larga. Tras la división, se obtiene:

$$\int_{e^{-6}}^{e^{6}} \frac{4}{u^3} + 16u + \frac{16}{u} \ du$$

Integrar a obtener:

$$8u^2-\frac{2}{u^2} + 16 \ln |u|$$

Back-sustituto $u=e^x$ para obtener

$$8e^{2x} - 2e^{-2x} + 16 \ln|e^{x}|$$

Desde $e^x$ es estrictamente creciente, se puede colocar el valor absoluto. También, cabe recordar que la $\ln{e^x} = x$, por lo que se puede simplificar un poco.

$$8e^{2x} + 16x - 2e^{-2x}$$

Ahora, simplemente evaluar en sus extremos para encontrar que

$$I \approx 1.628\times10^6$$

Answer 3

Tenido estos pasos ok: $$\int_{-6}^6 \! \frac{(4e^{2x} + 2)^2}{e^{2x}} \, \mathrm{d} x = \int_{-6}^6 \! \frac{16e^{4x} + 16e^{2x} + 4}{e^{2x}} \, \mathrm{d} x$$

Después de eso, hay un número de opciones. Parece que se olvidó de integrar la solución.

Usted podría hacer esto: $$\int_{-6}^6 {\frac{16e^{4x} + 16e^{2x} + 4}{e^{2x}} dx}$$ $$= \int_{-6}^6 { \left( 16e^{2x} + 16 + 4e^{-2x} \right) dx}$$ $$= \left[ { 8e^{2x} + 16x - 2e^{-2x} } \right]_{-6}^6$$

La integración está directamente encima. Colocando los valores da:

$$\left( 8e^{2(6)} + 16(6) - 2e^{-2(6)} \right) - \left( 8e^{2(-6)} + 16(-6) - 2e^{-2(-6)} \right)$$ $$= \left( 8e^{12} + 96 - 2e^{-12} \right) - \left( 8e^{-12} -96 - 2e^{12} \right)$$ $$= 10e^{12} + 192 - 10e^{-12}$$

$$\approx 1.62774*10^6$$

Para obtener el seno hiperbólico ($\sinh$), tenga en cuenta que $$\sinh(x) = \frac{ e^{x} - e^{-2x} } {2}$$ $$\sinh(12) = \frac{ e^{12} - e^{-12} } {2}$$ $$20\sinh(12) = 10 \left( e^{12} - e^{-12} \right)$$

Así tenemos $$10e^{12} - 10e^{-12} + 192$$ $$= 20\sinh(12) + 192$$ $$= 4 \left( 5 \sinh(12) + 48 \right)$$

Answer 4

Como para el error en su trabajo, yo veo un problema en el siguiente paso:

$$\int_{-6}^6 \! \frac{16e^{4x} + 16e^{2x} + 4}{e^{2x}} \, \mathrm{d} x = \left[ \frac{(4e^{4x} + 8e^{2x} + 4x)2}{e^{2x}} \right]_{-6}^6$$

El denominador no es una constante, por lo que no puede hacer la integración como este. Sugiero dividir el numerador por el denominador. Esto equivale a la sustitución que Joe sugiere, pero parece menos complicado en mi opinión.

También, el 2 fuera de la parenteses en el numerador es incorrecta.