Polinomios y Trigonometría

Question

Pregunta:

La ecuación de $x^{2}-x+1=0$ tiene raíces $\alpha$$\beta$. Mostrar que $\alpha ^{n}+\beta ^{n}=2\cos\frac{n\pi }{3}$ $n=1, 2, 3...$

Intento:

$x^{2}=x-1 \Rightarrow x^{n}=x^{n-1}-x^{n-2}$ $n=3, 4, 5...$

$\therefore \alpha^{n}=\alpha^{n-1}-\alpha^{n-2}$

$\therefore \alpha ^{n}+\beta ^{n}=\alpha ^{n-1}+\beta ^{n-1}-\alpha ^{n-2}-\beta ^{n-2}$

No veo cómo podría vincular esto con el coseno.

Podría usted por favor, ir más allá de responder a la pregunta y demostrando que $\alpha ^{n}+\beta ^{n}=2\cos\frac{n\pi }{3}$ y explicar la pregunta para mí por qué esta relación entre las raíces y trigonometría suceder?

La pregunta que probablemente se puede hacer por inducción pero hay otra manera?

Gracias!

Answer 1

Sugerencias:

$$x^2-x+1=0\implies x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{-3}}2=\begin{cases}\frac{1-\sqrt3\,i}2=e^{-\frac{2\pi i}3}=\text{cis}\left(-\frac{2\pi}3\right)\\{}\\\frac{1+\sqrt3\,i}2=e^{\frac{2\pi i}3}=\text{cis}\left(\frac{2\pi}3\right)\end{cases}$$

Nota así que

$$x_1=\overline{x_2}=x_2^{-1}\implies x_1+x_2=2\text{Re}\,(x_1)=2\cos\frac{2\pi}3\implies x_1^n+x_2^n=\;\ldots\ldots$$