Si dos normas son equivalentes en un subespacio denso de una normativa espacio, son equivalentes?

Question

Dado un espacio vectorial $V$ equipada con dos normas $|\cdot|$$||\cdot||$, que es equivalente a un subespacio $W$ $||\cdot||$- denso en $V$, son las dos normas necesariamente equivalentes?

La declaración parece relativamente sencillo cosa para mostrar, pero no puedo manejarlo. Después de haber jugado todo con un par de pruebas de estrategias y no llegar a ninguna parte, estoy empezando a pensar que la declaración no es cierto, pero todavía no estoy familiarizado con muchos normativa espacios y que no se puede pensar de un contra-ejemplo. Cualquier ayuda o sugerencias sería muy apreciada.

EDITAR: Para aclarar las cosas, en el libro que me llevó a esta pregunta (Análisis Lineal por Béla Bollobás) una normativa espacio se define para ser real o complejo espacio vectorial, entonces yo creo que la intención es $V$ $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$.

Answer 1

Presento este contraejemplo que, en mi opinión, demuestra que la afirmación es falsa.

En la vena de este MathOverflow post por Gerald Edgar, vamos a $V$ denotar el verdadero espacio vectorial de todos los polinomios de una variable y dejar $$\lVert P\rVert=\max_{x\in[0, 1]} \lvert P(x)\rvert,\qquad \forall P\in V.$$ Por otra parte, vamos $$W=\{a_0+a_2x^2+a_4x^4+\dots+a_{2k}x^{2k}\ :\ a_j\in \mathbb{R}\ k\in \mathbb{N}\}. $$ Este es un subespacio denso de $V$ (cfr. post vinculado).

Ahora considere el siguiente problema de operador: $$T(x^n)=\begin{cases} x^n & n\ \text{even} \\ nx^n& n\ \text{odd}\end{cases}$$ Sus peculiaridades son que:

1. $T\equiv I$ (identidad) sobre el subespacio denso $W$;
2. $T$ es no acotada.
3. $T$ $1:1$.

Definir $$\lvert P \rvert=\lVert T(P)\rVert.$$ Desde $T$ es lineal y $1:1$, esto define una norma en $V$. Por otra parte, esto está de acuerdo con las normas $\lVert\cdot\rVert$$W$. Sin embargo, las dos normas no son equivalentes, porque esto implicaría acotamiento del operador $T$.

Answer 2

$\mathbb Q(\sqrt 2)$ tiene dos normas que son equivalentes en $\mathbb Q$ derivado de los dos incrustaciones en $\mathbb R$

Answer 3

Esto no es cierto en general; y, de hecho, esto es "nunca" es cierto.

En primer lugar, tomemos, por ejemplo,$V=\mathcal C([0,1])$, el espacio de todas las funciones continuas en $[0,1]$, y deje $\Vert\;\Vert=\Vert\,\Vert_\infty$. Vamos también a $W\subset V$ ser el espacio de todas las funciones polinómicas en $[0,1]$. A continuación, $W$ es denso en $(V,\Vert\;\Vert)$. Deje $E\subset V$ ser un subespacio lineal tal que $E\oplus W=V$ (usted puede encontrar esta $E$, con cierta cantidad de "elección"). A continuación, $E$ sin duda tiene dimensión infinita; así que uno puede encontrar (de nuevo, con cierta cantidad de "elección") una norma $\vert \;\vert_E$ $E$ que no es equivalente a (la restricción de) $\Vert\;\Vert$$E$. Ahora definir la norma $\vert\;\vert$ $V$ $\vert e\oplus w\vert=\vert e\vert_E+\Vert w\Vert$ por cada $(e,w)\in E\times W$. A continuación, $\vert\;\vert$ son iguales en $W$ pero no equivalentes.

Esta "construcción" de las obras, de hecho, en cualquier (infinito-dimensional) espacio vectorial $V$ con cualquier norma $\Vert\;\Vert$$V$. Es decir, el siguiente es cierto: Para cualquier infinito-dimensional espacio vectorial $V$ y cualquier ni $\Vert\;\Vert$, uno puede encontrar otra norma $\vert \;\vert$ $V$ tal que $\vert\;\vert$ $\Vert\; \Vert$ coinciden en una densa (con respecto a $\Vert\;\Vert$) lineal subespacio $W\subset V$, y sin embargo no son equivalentes.

Para probar esto, todo lo que necesitas es encontrar una densa lineal subespacio $W\subset V$ tales que el cociente del espacio de $V/W$ es infinito-dimensional; lo que es equivalente, para los que puede escribir $V=E\oplus W$$\dim E=\infty$.

Ahora, es "bien conocido" que usted puede encontrar un denso conjunto de $D\subset W$ (con respecto al $\Vert\;\Vert$) que es también linealmente independientes, se por ejemplo, aquí: ¿existe un lineales independientes y densa subconjunto? Tomar cualquier secuencia $(x_n)\subset D$ tal que $\Vert x_n\Vert\to 0$. A continuación, $D\setminus\{ x_n;\; n\in\mathbb N\}$ nuevamente es denso en $V$ (wrt $\Vert\;\Vert$). (De hecho, desde el conjunto de $A=\{ 0\}\cup\{ x_n;\; n\in\mathbb N\}$ es contable, se ha vacío interior wrt $\Vert\;\Vert$ porque no vacío abrir establece una normativa espacio vectorial son innumerables, y por otra parte $A$ $\Vert\;\Vert$- cerrado en $V$; por lo $V\setminus A$ es densa y abierta en $V$ wrt $\Vert\;\Vert$, y, por tanto, $D\setminus A$ $\Vert\;\Vert$- denso en $V$). Si denotamos por a $W$ lineal lapso de $D\setminus\{ x_n;\; n\in\mathbb N\}$ y $E$ lineal lapso de $\{ x_n;\; n\in\mathbb N\}$, entonces todo está bien.

Tenga en cuenta también que la "construcción" no contradice Giuseppe del enunciado, dado que no hay ninguna razón para $\vert\;\vert$ a ser completa; pero tal vez podría ser modificadas?

Answer 4

ADVERTENCIA: Esta respuesta contiene una (probablemente fatal) de error, ver los comentarios.

La afirmación es verdadera con un adicional de asunción:

$V$ se completa con respeto a $\lvert \cdot \rvert$ (recordemos que $W$ es densa, con respecto a la otra norma $\lVert\cdot\rVert$).

Prueba. Por supuesto, las constantes de $C_1, C_2$ existen tales que las siguientes desigualdades:se \begin{equation}\tag{1} \begin{array}{ccc} \lvert y\rvert\le C_1\lVert y\rVert, & \lVert y\rVert\le C_2\lvert y\rvert & \forall y\in W. \end{array} \end{equation} Así que tome $x\in V$. Por supuesto, podemos encontrar una secuencia $y_n\in W$ convergentes a $x$ con respecto al $\lVert\cdot\lVert$. Porque de la primera desigualdad en (1), $y_n$ es de Cauchy con respecto a las normas y por tanto el uso de exhaustividad, podemos ver que un vector $y\in V$ existe tal que $$\lvert y_n-y\rvert\to 0.$$ En realidad, $x=y$ porque $$\lvert x-y\rvert\le \lvert x-y_n\rvert+\lvert y_n-y\rvert\le C_1\lVert x-y_n\rVert + \lvert y_n-y\rvert, $$ y el lado derecho de esta desigualdad tiende a $0$$n\to \infty$. Por lo tanto, dejando $n\to \infty$ en las desigualdades $$\lvert y_n\rvert\le C_1\lVert y_n\rVert, \qquad \lVert y_n\rVert\le C_2\lvert y_n\rvert$$ vemos que las dos normas son equivalentes en el conjunto de la $V$.