¿Por qué $L^2$ la convergencia no implica una convergencia casi segura

Question

¿Qué hay de malo en este argumento?

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Dejemos que $f_n$ sea una secuencia de funciones tal que $f_n \to f$ en $L^2(\Omega)$ . Esto significa que $$\lVert f_n - f \rVert_{L^2(\Omega)} \to 0,$$ es decir, $$\int_\Omega(f_n - f)^2 \to 0.$$ Como el integrando es positivo, esto debe significar que $f_n \to f$ a.e.

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¿Por qué no es cierto? Aparentemente esto sólo es cierto para una subsecuencia $f_n$ (y en todo $L^p$ espacios).

Answer 1

Consideremos la siguiente secuencia de funciones características $f_n \colon [0,1] \to R$ definida de la siguiente manera:

$f_1 = \chi[0, 1/2]$

$f_2 = \chi[1/2, 1]$

$f_3 = \chi[0, 1/3]$

$f_4 = \chi[1/3, 2/3]$

$f_5 = \chi[2/3, 1]$

$f_6 = \chi[0, 1/4]$

$f_7 = \chi[1/4, 2/4]$

y así sucesivamente.

Entonces $f_n \to 0$ en $L^2$ pero $f_n$ no converge puntualmente.