Hay cualquier número entero soluciones de f(x) = cos(x), además de (0,1)?

Question

Estoy impartiendo un curso que cubre los aspectos básicos de la teoría de conjuntos y relaciones y funciones. Les pedimos que vienen con una función de$\mathbf{N} \to \mathbf{N}$, que no es uno a uno ni sobre.

Uno de mis estudiantes escribieron $f(x) = \cos(x)$ como su respuesta. Ahora, lo más probable es que simplemente no entendía la pregunta y simplemente estaban desesperadamente para agarrar puntos ($f(x) = \cos(x)$ no es ni siquiera una función de $\mathbf{N} \to \mathbf{N}$ debido a que, por ejemplo, $\cos(2)$ no está en el codominio).

Sin embargo, me puse a pensar - ¿hay alguna enteros 0, que además de hacer tiene un número entero de imagen en el codominio de $f(x) = \cos(x)$?

Answer 1

En realidad, ahora que lo pienso acerca de esto, sólo hay tres posibles valores enteros en el codominio: 0, 1 y -1. Los conjuntos de soluciones de $\cos(x) = 0$, $\cos(x) = 1$, y $\cos(x) = -1$ todos consisten en no-entero (de hecho, irracional) soluciones aparte de $\cos(0)=1$.

$\cos(x) = 1$:

$x = 2\pi k$, $k \in \mathbf{Z}$

$\cos(x) = 0$:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k = \pi(\frac{1}{2} + k)$, $k \in \mathbf{Z}$

$\cos(x) = -1$:

$x = \pi + 2\pi k = \pi(1 + 2k)$, $k \in \mathbf{Z}$

En los tres casos (excepto para el primer caso al $k=0$), tenemos un número irracional veces un número racional, que es irracional.