Cech cohomology de $\mathbb A^2_k\setminus\{0\}$

Question

Estoy tratando de demostrar, a través de la Cech cohomology, que $S=\mathbb A^2_k\setminus\{0\}$ con la inducida por la topología de Zariski no es una variedad afín. Considerar la estructura de la gavilla $\mathcal O_{\mathbb A^2_k}\big|_S:=\mathcal O_S$ (que es cuasi coherente), debo mostrar que $\exists n$ tal que $\check H^n(S,\mathcal O_S)\neq 0$. Es suficiente para probar que $\check H^n(\mathcal U,\mathcal O_S)\neq0$ durante un cierto afín cubierta de $S$ (y un cierto $n$); así que vamos a elegir a $\mathcal U=\{D(X), D(Y)\}$ donde$D(X)=\{(x,y)\in S\,:\, x\neq 0\}$$D(Y)=\{(x,y)\in S\,:\, y\neq 0\}$. Claramente para $n\ge 2$ tenemos que $\check H^n(S,\mathcal O_S)=0$, por lo que deben mostrar que $\check H^1(\mathcal U,\mathcal O_S)\neq0$. La Cech complejo es: $$\mathcal O_S(D(X))\times\mathcal O_S(D(Y))=\Gamma(S)_X\times\Gamma(S)_Y\longrightarrow \mathcal O_S(D(X)\cap D(Y))=\Gamma(S)_{XY}\longrightarrow 0\cdots$$

con el homomorphism: $d^0: (f,g)\mapsto g|_{{D(X)\cap D(Y)}}-f|_{{D(X)\cap D(Y)}}$. Para completar la prueba que debo a la conclusión de que $d^0$ no es surjective, pero ¿por qué es esto cierto?

gracias

Answer 1

Primer aviso de que la restricción de morfismos $\Gamma(\mathbb A^2_k,\mathcal O_{ \mathbb A^2_k})\to \Gamma(S, \mathcal O_S)$ es bijective porque el plano afín $A^2_k$ es normal ("Hartogs fenómeno").
Por lo tanto podemos identificar a $\Gamma(S, \mathcal O_S)$ con el polinomio anillo de $k[X,Y]$

a) El conjunto abierto $D(X)$ es isomorfo a $\mathbb G_m\times \mathbb A^1_k$ donde $\mathbb G_m=\operatorname {Spec} k[T,T^{-1}]$, afín a la línea de origen de los eliminados.
Por lo tanto $\Gamma(D(X),\mathcal O_{ A^2_k})=k[X,X^{-1},Y]$.

b) de manera Similar $D(Y)$ es isomorfo a $\mathbb A^1_k \times \mathbb G_m$.
Por lo tanto $\Gamma(D(Y),\mathcal O_{ A^2_k})=k[X,Y, Y^{-1}]$.

c) Finalmente, el conjunto abierto $D(X)\cap D(Y)$ es isomorfo al producto $\mathbb G_m\times_k \mathbb G_m$ .
Por lo tanto $\Gamma(D(X)\cap D(Y),\mathcal O_{ A^2_k})=k[X,X^{-1}]\otimes _k k[Y,Y^{-1}]= k[X,X^{-1},Y,Y^{-1}]$.

d) Con estas identificaciones establecido, el primer cohomology grupo $\check H^1(\mathcal U,\mathcal O_S)$ estructural de la gavilla es el cohomology de la compleja $$ k[X,X^{-1},Y]\times k[X,Y,Y^{-1}] \to k[X,X^{-1},Y,Y^{-1}] \to 0 $$ where the non trivial map is $$(f(X,X^{-1},Y),g(X,Y,Y^{-1}))\mapsto g(X,Y,Y^{-1})-f(X,X^{-1},Y)$$ e) por lo tanto vemos que la cohomology es la siguiente infinitas dimensiones $k$-espacio vectorial , espectacularmente violar la desaparición de cohomology para afín esquemas, que $S$ no es así.

Resultado Final $$ \check H^1(\mathcal U,\mathcal O_S)=\check H^1(S,\mathcal O_S)=\oplus _{i,j\gt 0} \; k\cdot X^{-i} Y^{-j} $$