Demostrando la divisibilidad

Question

Deje $x,y$ $m$ ser números enteros. Probar si $m | 4x$ + y $m | 7x+2y$ $m|x$ $m|y$

Answer 1

Deje $u = 4x + y$$v = 7x + 2y$, de modo que $x = 2u - v$$y = 4v - 7u$.

Desde $m | u$ $m | v$ también sucede que $m | 2u - v$$m | 4v - 7u$.

Que demuestra que el $m | x$$m | y$.

Answer 2

$\rm\: mod\ m:\ \begin{pmatrix} 4 & 1 \\\\ 7 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X \\\\ \rm Y\end{pmatrix}\ \equiv\ \begin{pmatrix} 0 \\\\ 0\end{pmatrix}\ \Rightarrow\ \begin{pmatrix} X \\\\ \rm Y\end{pmatrix}\ \equiv\ \begin{pmatrix} 0 \\\\ 0\end{pmatrix}\ $ debido a que la matriz es invertible ($\rm det = 1$)