El crecimiento de $\pi(2x) - 2\pi(x)$

Question

En Hardy & Wright Teoría de los Números (p. 494f en la 6^ª ed.) hay un poco de debate tras la prueba del teorema de los números primos.

Tenemos $$ \pi(2x) - \pi(x) = \frac{x}{\log x} + o\left(\frac{x}{\log x}\right) \sim \pi(x). \tag{1} $$ Por lo tanto, en una primera aproximación, el número de números primos entre $x$ $2x$ es el mismo que el número de menos de $x$. A primera vista esto es sorprendente, ya que sabemos que los números primos cerca de $x$ 'adelgazar' (en algún sentido vago) como $x$ aumenta. De hecho, $\pi(2x) - 2\pi(x) \to \infty$ $x \to \infty$ (a pesar de que no podemos demostrar esto aquí), pero esto no es incompatible con (1), que es equivalente a $$ \pi(2x) - 2\pi(x) = O(\pi(x)). \tag{2} $$

No esta simplemente mal? Primero de todo, (1) no es equivalente a (2), sino más bien a $$ \pi(2x) - 2\pi(x) = o(\pi(x)). \tag{2'}$$ Lo que es más importante, ¿cómo puede $\pi(2x) - 2\pi(x)$ ir hasta el infinito si $\pi(2x) < 2\pi(x)$ $x \ge 11$?

Por tanto, la pregunta es, como $x \to \infty$, lo $\pi(2x) - 2\pi(x)$ haciendo en realidad?

Answer 1

Uno puede mostrar a través del teorema de los números primos que \[2\pi(x) - \pi(2x) \sim 2 \log 2 \frac{x}{(\log x)^2},\] de modo que $2\pi(x) \geq \pi(2x)$ para todos lo suficientemente grande $x$. Ver esta respuesta.

Answer 2

Se sabe que para cualquier $\varepsilon > 0$ hay un punto de $x_0$ tal que $$\frac{x}{\log x - 1 + \varepsilon} < \pi(x) < \frac{x}{\log x - 1 - \varepsilon}, \quad x \ge x_0$$ (por ejemplo, Rosser (1941) Teorema de 29A da $x_0 = 55$$\varepsilon = 3$).

De esto podemos deducir que el límite superior $$\pi(2x) - 2\pi(x) < \frac{2x(2\varepsilon - \log 2)}{(\log 2x - 1 - \varepsilon)(\log x - 1 + \varepsilon)}$$ que sostiene, finalmente, que cualquier positivo $\varepsilon$. La fijación de $\varepsilon = \frac{1}{3} < \frac{1}{2} \log 2$ (debido a $e^2 < 2.75^2 = 8 - \frac{7}{16}$) vemos que $\lim_{x \to \infty} \pi(2x) - 2\pi(x) = -\infty$, no $+\infty$. Así que había una errata en el libro.