Un operador que conmuta con otro operador $T$ con distintos valores de característica es un polinomio en a $T$

Question

Estoy tratando de resolver algunos problemas en Hoffman y Kunze y estoy un poco pegado en esto. Este es 6.5.3 en Hoffman y Kunze.

Aquí está la pregunta:

Deje $T$ ser un operador lineal en un $n$-dimensiones del espacio, y supongamos que $T$ $n$ distintos valores de característica. Demostrar que cualquier operador lineal $U$ que conmutan con a $T$ es un polinomio en a $T$.

Mi trabajo hasta el momento: Desde $T$ $n$ distintos valores de característica y desde el espacio actúa también es $n$ dimensiones, $T$ debe ser diagonalisable. Ahora, usando el hecho de $UT=TU$ puedo mostrar que $U$ también debe ser diagonalizable. Así que estos dos operadores deben ser simultáneamente diagonalizable. Ahora estoy atascado con el lugar donde va esto. Estoy pensando en simultáneo diagonalizability porque esta es la sección 6.5 de Hoffman y Kunze y trata simultánea diagonalizability. Estoy en la pista de la derecha con esto?. ¿Alguien puede ayudar?

Muchas gracias por su tiempo y sus respuestas.

Answer 1

Nota: vamos a probar que la commutant de $T$ es igual a $K[T]$. Esta propiedad es en realidad equivalente al hecho de que el carácter y la mínima polinomios son iguales. Eso es también equivalente a la similitud con un compañero de la matriz.

Deje $\lambda_j$ $n$ pares distintos autovalores de a $T$. Un operador debe ser diagonalizable, y sus subespacios propios son todos de una sola dimensión. Desde $U$ conmuta con $T$, las hojas de los subespacios propios de a $T$ invariante. Ya que son uno-dimensional, esto implica que cada vector propio de a $T$ es un autovector de a $U$. Por lo $T$ $U$ son simultáneamente diagonalizable.

En una base de diagonalización simultánea, $T=\mbox{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$$U=\mbox{diag}(\mu_1,\ldots,\mu_n)$.

Ahora vamos a hacer la interpolación de Lagrange. Puesto que el $\lambda_j$ son parejas distintas, podemos considerar el grado $n$ polinomios $$ L_j(x)=\prod_{i\neq j}\frac{x-\lambda_i}{\lambda_j-\lambda_i}\qquad L_j(\lambda_i)=\delta_{ij}. $$ Ahora $$p(x)=\sum_{j=1}^n\mu_jL_j(x)\qquad\mbox{satisface }\quad p(\lambda_j)=\mu_j \;\forall j. $$ Por lo tanto, $p(T)=\mbox{diag}(p(\lambda_1),\ldots,p(\lambda_n))=U$ pertenece a $K[T]$. Lo contrario es claro, por lo que el commutant de $T$ es $$ \{T\}'=\{U\en L(V)\,;\,UT=UT\}=K[T] $$ el subagebra de todos los polinomios en la $T$.

Nota: de una forma menos explícita argumento, basta con comparar las dimensiones de $K[T]$ y el subespacio de todas las diagonales de los operadores en esta base. El último es claramente $n$. El primero es $n$ por el polinomio mínimo de consideración y de la división Euclídea. Y claramente $K[T]$ está contenida en el commutant, por lo que deben ser iguales. Oh...pero que el TTS argumento...

Answer 2

A mí me parece que ha encontrado las condiciones necesarias y suficientes en $U$. ¿Qué piensa usted de la dimensión del espacio de tal $U$ es? Usted no necesita aún el uso que los autovalores son distintos.

Ahora, considere el espacio de polinomios en $T$. Los elementos de este espacio siempre conmuta con $T$. ¿Cuál es la dimensión?