Delimitada transformación lineal definición de aclaración

Question

Mi profesor define delimitada transformaciones lineales (operadores) entre dos norma espacios lineales como "lineal mapa que se asigna limitada a los conjuntos de conjuntos acotados".
Pero en muchos libros, la ha definido como una lineal mapa de $T:X\to Y$ tal que: para todos los $x\neq 0$ hay $M\ge 0$ $$\dfrac{\|Tx\|_Y}{\|x\|_X}\le M.$ $ sin Embargo, no puedo ver ninguna de inmediato la equivalencia entre estas dos definiciones.
Son estos dos equivalentes? Si es que sí, ¿Cómo puede usted ver?

También, me gustaría saber la definición y la intuición detrás de la ilimitada lineal de los operadores.

Answer 1

Claramente, si hay un $M > 0$ tal que $\frac{\|Tx\|_Y}{\|x\|_X}\leq M$ todos los $x\in X$, $T$ mapas limitada a los conjuntos de conjuntos acotados. Tome $S\subset X$ tal que $\|x\|_X\leq B < \infty$ todos los $x\in S$. Entonces, para $y\in T(S)$, $y = Tx$ para algunos $x\in S$, lo que implica que $\|y\|_Y\leq M\|x\|_X\leq MB$, lo $T(S)$ está acotada.

Del mismo modo, si $T$ mapas limitada a los conjuntos de conjuntos acotados, entonces debemos tener algunas $M\geq 0$ tal que $\frac{\|Tx\|_Y}{\|x\|_X}\leq M$. De lo contrario, un aumento de la secuencia de $\{M_n\}_{n=1}^{\infty}$ tal que $M_n\to \infty$, y para cada una de las $n$ elegir un $x_n\in X$ tal que $\|x_n\|_X = 1$$\frac{\|Tx_n\|_Y}{\|x_n\|_X} = \|Tx_n\|_Y > M_n$, lo que podemos hacer por la linealidad de $T$, como $$\frac{\|Tx\|_Y}{\|x\|_X} = \left\|T\frac{x}{\|x\|_X}\right\|_Y$$ is only dependent on the "direction" of $x$, not on its length. Then, $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ is bounded as it lies within the unit sphere, but $\{Tx_n\}_{n=1}^{\infty}$ es no acotada.

Answer 2

La condición de que tenga escribió es el mismo $$ \sup_{||x||\leq1} ||Tx||_Y = \sup_{x\in X} \frac{||Tx||_Y}{||x||_X}\leq M$$ debido a $T $ es lineal y $||\lambda x|| = |\lambda|||x||$.

Por lo tanto, si $T$ envía un almacén de conjuntos de conjuntos acotados se envía a la unidad de la bola en un conjunto acotado (por lo $M$ existe). Viceversa, si la desigualdad anterior se mantiene, tomar un conjunto acotado $K$, debe estar contenido en una bola de radio,$r>0$, es decir,$K \subset r B_X $, se deduce que el $T(K)\subset M r B_Y$ (donde $B_X$ es la unidad de la bola en el espacio de $X$).