Clasificación de definición de transformación lineal acotada

Question

Mi profesor define las transformaciones lineales acotadas (operadores) entre dos espacios lineales normados como un "mapeo lineal que mapea conjuntos acotados a conjuntos acotados".
Pero en muchos libros se ha definido como un mapeo lineal $T:X\to Y$ tal que: para todo $x\neq 0$ existe $M\ge 0$ con $$\dfrac{\|Tx\|_Y}{\|x\|_X}\le M.$$ Sin embargo, no puedo ver una equivalencia inmediata entre estas dos definiciones.
¿Son equivalentes? Si es así, ¿cómo puedes verlo?

También me gustaría saber la definición y la intuición detrás de los operadores lineales no acotados.

Answer 1

Claramente, si hay un $M > 0$ tal que $\frac{\|Tx\|_Y}{\|x\|_X}\leq M$ para todo $x\in X$, entonces $T$ mapea conjuntos acotados a conjuntos acotados. Tomemos $S\subset X$ tal que $\|x\|_X\leq B < \infty$ para todo $x\in S$. Entonces, para $y\in T(S)$, $y = Tx$ para algún $x\in S$, lo que implica que $\|y\|_Y\leq M\|x\|_X\leq MB$, por lo que $T(S)$ es acotado.

De manera similar, si $T$ mapea conjuntos acotados a conjuntos acotados, entonces debemos tener algún $M\geq 0$ tal que $\frac{\|Tx\|_Y}{\|x\|_X}\leq M$. De lo contrario, tomemos una secuencia creciente $\{M_n\}_{n=1}^{\infty}$ tal que $M_n\to \infty$, y para cada $n$ elijamos un $x_n\in X$ tal que $\|x_n\|_X = 1$ y $\frac{\|Tx_n\|_Y}{\|x_n\|_X} = \|Tx_n\|_Y > M_n$, lo cual podemos hacer por la linealidad de $T$, ya que $$\frac{\|Tx\|_Y}{\|x\|_X} = \left\|T\frac{x}{\|x\|_X}\right\|_Y$$ depende únicamente de la "dirección" de $x$, no de su longitud. Luego, $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ es acotado al encontrarse dentro de la esfera unitaria, pero $\{Tx_n\}_{n=1}^{\infty}$ no es acotado.

Answer 2

La condición que has escrito es la misma que $$ \sup_{||x||\leq1} ||Tx||_Y = \sup_{x\in X} \frac{||Tx||_Y}{||x||_X}\leq M$$ porque $T $ es lineal y $||\lambda x|| = |\lambda|||x||$.

Por lo tanto, si $T$ envía conjuntos acotados a conjuntos acotados, envía la bola unidad a un conjunto acotado (así que $M$ existe). Viceversa, si se cumple la desigualdad anterior, toma un conjunto acotado $K$, debe estar contenido en una bola de radio $r>0$, es decir, $K \subset r B_X $, se sigue que $T(K)\subset M r B_Y$ (donde $B_X$ es la bola unidad en el espacio $X$).