Aplicación de Harish-Chandra teorema de

Question

Deje $\mathfrak{g}$ ser un semisimple finito dimensionales Mentira álgebra y $V_\lambda$, resp. $V_\mu$ sus finito dimensionales mayor peso de los módulos con los más altos pesos $\lambda$, resp. $\mu$. Vamos $\chi_\lambda, \chi_\mu : C(\mathcal{U}(\mathfrak{g})) \rightarrow \mathbb{C}$ la correspondiente personajes centrales. Harish-Chandra teorema afirma que $\chi_\lambda = \chi_\mu$ si y sólo si $w(\lambda+\delta)-\delta = \lambda$ algunos $w$ en el grupo de Weyl, donde $\delta$ es el Weyl vector, es decir, la suma de todos los pesos.

Es también cierto en esta configuración, que $V_\lambda \simeq V_\mu$ si y sólo si $\chi_\mu = \chi_\nu$ ?

Cómo es esta versión del teorema relacionado con el hecho de que Harish-Chandra homomorphism es un isomorfismo ?

Muchas gracias por sus respuestas. (Estoy estudiando un programa en la física matemática y tratando de averiguar cómo general es el procedimiento de etiquetado de representaciones irreducibles por los valores de Casimir operadores, como los físicos de hacerlo a menudo)

Answer 1

Si interpreto tu pregunta como preguntando: ¿irred. finito-dimensional de la rep determinado por su carácter infinitesimal (es decir, por los valores propios de la centro de la envolvente de álgebra en ellos), la respuesta es sí. Como usted esencialmente observar, si uno tiene una irrep. $V$, y quiere escribir como $V_{\lambda}$, usted puede darse cuenta de $\lambda$ como el único dominante de peso que $\chi_V$ (el personaje central de $V$) es igual a $\chi_{\lambda+\delta}$. (No estoy seguro de lo que la normalización se usa, pero si usted está utilizando el normalizada HC isomorfismo, el que identifica el centro de la envolvente de álgebra con $W$-invariantes en el envolvente algebra de Cartan, a continuación, $\chi_V$ será la homomorphism correspondiente al carácter $\chi+\delta$ de la Cartan.)

La prueba de esta afirmación está estrechamente relacionado con la prueba de la HC isomorfismo (al menos, con las pruebas que yo sepa). Me enteré de la HC isomorfismo de Knapp del resumen en los ejemplos del libro, y creo que he aprendido este hecho, y su relación con el HC isomorfismo, a partir de ese libro.

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Por cierto, si tienes una formación en la física, entonces usted probablemente sabe de un caso de esto: para los armónicos esféricos, el Casimir (= esférica Laplaciano) autovalor determina la irrep. de $SO(3)$ a un armónico esférico que pertenece.

Answer 2

Yo no soy un experto en la Mentira de la teoría, pero las siguientes son algunas de las respuestas a sus preguntas. Todo el material que uso aquí viene de Humphrey el texto de las Representaciones de semisimple álgebras de Lie en el PDE categoría $\mathcal{O}$'

En primer lugar, hay dos Harish-Chandra homomorphisms

1. se define mediante la restricción de la proyección canónica $\mathrm{pr}:U(\mathfrak{g})\to U(\mathfrak{h})$ a $Z(\mathfrak{g})$
2. 'versión retorcida' (que es el más útil) que toma en cuenta el punto de acción, y con un mejor rango, denotan $\psi:Z(\mathfrak{g})\to S(\mathfrak{h})$

De nuevo he de destacar que yo no soy un experto en este campo, por lo que en la literatura, se puede ya asumir siempre hablamos de la trenzado uno; y esta es la que yo asumo que usted está usando aquí.

Harish-Chandra Teorema:

1. $\psi: Z(\mathfrak{g}) \simeq S(\mathfrak{g})^W$
2. Para todos los $\lambda,\mu\in\mathfrak{h}^*$, la central de caracteres $\chi_\lambda=\chi_\mu \Leftrightarrow \mu = w\cdot \lambda$ algunos $w\in W$
3. Cada personaje central de la $\chi:Z(\mathfrak{g})\to \mathbb{C}$ es de la forma $\chi_\lambda$ algunos $\lambda$.

Sólo para asegurarse de que nuestra terminología partidos. Cuando leí mayor módulo de peso (peso $\lambda$), supongo que te refieres a los objetos de la categoría de $\mathcal{O}$ de tal manera que tenemos un máximo de vector con peso $\lambda$ donde $\mathfrak{n}$ actúa como cero.

Vamos a suponer $V_\lambda$ más de peso módulo de mayor peso,$\lambda$, pero NO necesariamente finito dimensional, entonces la respuesta a tu primera pregunta ($V_\lambda \simeq V_\mu \Leftrightarrow \chi_\lambda=\chi_\mu$) es falsa. Algunos ejemplos obvios son los Verma módulos de $M(\lambda) = U(\mathfrak{g})\otimes_{U(\mathfrak{b})}\mathbb{C}_\lambda$ donde $\mathbb{C}_\lambda$ es el carácter trivial (la representación), correspondiente a peso $\lambda$ de la universal que envuelve el álgebra de Borel subalgebra $\mathfrak{b}=\mathfrak{h}\oplus \mathfrak{n}$. Cada una de las $M(\lambda)$ es más alto módulo de peso de peso $\lambda$, y todavía se puede tener un $\chi_\lambda=\chi_\mu \Rightarrow M(\lambda) \not\cong M(\mu)$. (cf Jyrki Lahtonen el comentario de debajo de tu pregunta)

Por otro lado, si realmente nos restringe $V_\lambda$ a un ser finito dimensionales (esto en realidad imponer una gran restricción en la elección de $\lambda$$\mu$), después de mi discusión con Matt a continuación, que han señalado que hay más de un finito dimensionales irreductible módulo en cada uno de los bloques de la categoría $\mathcal{O}$, $\chi_\lambda=\chi_\mu \Leftrightarrow V_\lambda = V_\mu$ es verdadera SI $V_\lambda$ $V_\mu$ son irreducibles; y en este caso $\lambda =\mu$. Sin embargo, si usted sólo tiene la condición de "finito dimensionales" en lugar de "finito dimensionales irreductible", a continuación, un contraejemplo es$V_\lambda = L(\lambda)\oplus L(\lambda)$$V_\mu = L(\mu) = L(\lambda)$. Ambos de estos módulos tiene personajes centrales $\chi_\lambda$, pero obviamente no son isomorfos.

Mi respuesta a tu pregunta principal (aplicación de Harish-Chandra Teorema) es la siguiente. Se descompone pesos en la vinculación de las clases, el efecto sorprendente es la vinculación de la clase coinciden con lo que nosotros llamamos un "bloque" en teoría de la representación; el concepto de bloques está bien definido por (abelian) categoría también, si usted piensa en una categoría como la presentan como un grafo con vértices (indecomposable) de los objetos y dirigida flechas que representan (indecomposable) morfismos, se puede pensar en un bloque como el componente conectado de esta gráfica. De modo que el principal corolario de Harish-Chandra es el teorema de $$ \mathcal{S}=\bigoplus_{\chi \text{ personaje central}}\mathcal{S}_{\chi}=\bigoplus_{\lambda \en \mathfrak{h}^\/W\cdot}\mathcal{S}_{\lambda} $$ donde cada indecomposable $U(\mathfrak{g})$-módulo de mentira en exactamente uno de $\mathcal{O}_{\lambda}$.

Esto realmente es una reducción importante en el estudio de la categoría de $\mathcal{O}$, porque si queremos mirar nada homológica, se pueden concentrar de nuevo en cada bloque individual. Y podemos estudiar estos bloques mediante finito dimensionales álgebras (debido al hecho de que cada bloque tiene un número finito de clases de isomorfismo de módulos sencillos)! Espero que esto ayude.