No todos los torus $T\subset S^3$ límites de un sólido tours $S^1\times D^2\subset S^3$?

Question

Quiero mostrar esto mediante el uso de Alexander del Teorema del método de prueba. Así que aquí es lo que yo pensaba.

Como yo cirugía $T$, tengo 2 $S^2$. Así que uno de los límites $S^1$ y los otros límites de $D^2$. Por revertir la cirugía, tengo que $T$ límites de un sólido torus $S^1\times D^2$$S^3$.

Es correcto?

Answer 1

Esta respuesta lleva a través de los detalles de Lee Mosher del comentario.

Su objetivo es encontrar algún bucle en el toro que usted puede hacer la cirugía y obtener un embedded $S^2$. Equivalentemente, existe un bucle en el toro que los límites incorporado un disco en $S^3$ que no interset el toro. (Estos son equivalentes porque se puede espesar esta incrustado disco y tomar sus límites para obtener el $S^1 \times I$ podrás intercambiar para un $S^0 \times D^2$.). Esta incrustado toro divide el colector en dos de los lados; llamarlos $M_1$$M_2$.

Inspirado por el bucle teorema, queremos mostrar que hay incrustado un bucle en $T^2$ de manera tal que en un lado o el otro, es nulo homotópica. Claramente es nulo homotópica en $S^3$. Recoge un disco que representa esa null-homotopy y requerir que es transversal a la torus $T^2$, excepto a lo largo de su contorno. (Usted puede hacer esto mediante el estándar de la transversalidad de los argumentos.) Llamar a este mapa de $i$. Escoge un círculo íntimo de $i^{-1}(T^2)$; a continuación, porque es más íntimo, si nos restringimos $i$ a este círculo y el disco es de límites, que ahora se asigna sólo a uno de $M_1$$M_2$. Supongo que por comodidad es $M_1$.

Ahora que tenemos un bucle, podemos utilizar el bucle teorema de girar el disco que los límites en una incrustado. Por desgracia, yo no sé realmente cómo moverse utilizando el bucle teorema si vamos a hacer este argumento! Pude ver uno tratando de demostrar que para las 3-variedades que viven dentro de $S^3$, pero yo realmente no veo cómo eso nos ayudaría. Pero con el bucle teorema, podemos cirugía de ese bucle, como usted sugiere, y la invocación de Alexander del teorema.

También hay una prueba de esto que implica básicamente siguiendo con lo Hatcher hizo para las esferas y... a hacer para tori. No recuerdo los detalles, pero que es como yo lo hice este argumento cuando me miré en el libro primero.