¿Es el $\sum\sin(n)/n$ ¿convergente o divergente?

Question

Posible duplicado:
Demostrar que la secuencia $F_{n}(x)=\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{\sin{kx}}{k}$ es limitadamente convergente en $\mathbb{R}$

Así, en mi clase de cálculo (una que estoy enseñando, no tomando), la suma $\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n)}{n}$ ha surgido varias veces. Desgraciadamente, como persona no precisamente experta en la convergencia de sumas, parece resistirse a las pocas técnicas que conozco. Ciertamente, ninguno de los trucos habituales de primer curso de cálculo (prueba de integrales, prueba de series alternas, prueba de cocientes, etc.) funciona, y la única técnica más peliaguda, la suma parcial, que se me ocurre tampoco parece funcionar (se necesitaría que $\sum_{n=1}^N\sin(n)$ está acotada, lo cual creo que es falso).

Parece que debería converger, ya que cambia de signo bastante a menudo, pero por otro lado, la serie armónica puede jugar con tu intuición, así que no me fío mucho. Así que te pregunto:

¿Converge esta serie?

Answer 1

La suma de $$\sum_{n=1}^{N} \sin(n) = \frac{\sin(N) - \cot \left( \frac1{2} \right) \cos \left( N \right) + \cot \left( \frac1{2} \right)}{2}$$ que está claramente acotado y, por tanto, mediante la prueba de la serie alterna generalizada (también conocida como Prueba de Dirichlet ) la suma converge.

EDITAR $$S_N = \sum_{n=1}^{N} \sin(n)$$

$$2\sin \left( \frac1{2} \right) \times S_N = \sum_{n=1}^{N} \left( \cos \left( n- \frac1{2}\right) - \cos \left( n+ \frac1{2}\right)\right) = \cos \left( \frac1{2} \right) - \cos \left( N + \frac1{2} \right)$$

Por lo tanto, $$S_N = \frac{\cos \left( \frac1{2} \right) - \cos \left( N + \frac1{2} \right)}{2\sin \left(\frac1{2}\right)}$$