Tres Secuencias

Question

Dado que las secuencias $a_{n},b_{n},c_{n}$ todos los subconjuntos del intervalo de $(0,1)$, y todo converge a 0. También tenemos $a_{n}\leq b_{n}^{\alpha}$, e $a_{n}\leq c_{n}$, para todos los $n=1,2,3,...$, para algunos $\alpha \geq 1$ (número real).

Ahora, para un determinado $n$, podríamos tener $$a_{n}\leq b_{n}^{\alpha} \leq c_{n}$$ o podemos tener $$a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n}^{\alpha}$$

Supongamos que tenemos la opción de elegir cualquier $\alpha\geq 1$. Es posible elegir un $\alpha$ lo suficientemente grande como para que el primer caso es cierto para todos los $n$ (o al menos por una larga de $n$)?.

Edit: "para algunos $\alpha$" en lugar de para todos los.

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Estoy intentando lo siguiente:

Si no es $n_{1}, n_{2}, n_{3},...$ tal que $b_{n_{i}}^{\alpha} > c_{n_{i}} $$i=1,2,3,.. $ , entonces podemos optar $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3},..$, de modo que $ b_{n_{i}}^{\alpha_{i}} \leq c_{n_{i}}$ todos los $i=1,2,3,.. $.

Ahora, vamos a $ \alpha=\sup \alpha_{i}$ $ b_{n_{i}}^{\alpha} \leq c_{n_{i}}$ todos los $i=1,2,3,.. $. Pero el problema de este método es que el "sup" podría ser $\infty$!!

Answer 1

No, no arbitrarias de secuencias de $a_n,b_n,c_n$.

Considere el caso en que $a_n = c_n = A 2^{-n}$ por una constante $A$ (a permitir que la condición $a_n \le b_n^\alpha$) y $b_n = \frac{1}{n+1}$. Para el primer caso para mantener, debemos tener una $\alpha$ tal que $$ \left(n+1\right)^{-\alpha} = A 2^{-n}$$ para todos los $n$, lo cual es imposible.

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Si las desigualdades son estrictas, por lo $a_n < c_n$, luego de la anterior prueba puede ser ajustado por la elección de $a_n = A 2^{-n}$ $c_n = (A + \epsilon) 2^{-n}$ para algunos pequeños $\epsilon > 0$ $b_n$ como antes, entonces tenemos que encontrar una $\alpha$ tal que $$ A 2^{-n} \le \left(n+1\right)^{-\alpha} \le \left(A+\epsilon\right) 2^{-n}$$ para todos los $n$, en tanto que es imposible.