La visualización de las Órbitas y la Transitividad

Question

Estoy teniendo problemas para "visualizar" las órbitas y la transitividad.

Para comenzar con un ejemplo, si tengo el grupo $G=S_4$ que actúa sobre un conjunto no vacío $A=\{1,2,3,4\}$ sé que, por ejemplo, el estabilizador del elemento $2$, representado $G_2$ es isomorfo a $S_3$, debido a que de manera intuitiva, si $2$ 'queda', los otros tres elemento $1,3$ $4$ puede ser permutada por lo tanto, hay 6 permutaciones de $\{1,3,4\}$. Lo sé

$$G_2=\{1_{S_4},(1 3),(14),(34),(134),(143)\}$$

Ahora estoy tratando de comprender las órbitas. Las órbitas son clases de equivalencia. Básicamente, creo que estoy buscando en todos los 24 permutaciones que actúan sobre un elemento en $A$. Por lo tanto, si $\sigma\cdot i=\sigma(i)$, estoy en busca de todas las permutaciones que enviar cualquier elemento a un lugar particular en la permutación. Así, la órbita de $S_4$ contiene 2 entonces sería

$$\{(24),(234),(1342),(1423),(13)(24),(142)\}$$

Estoy bastante seguro de que esto es incorrecto. Estos son elementos de la $S_4$, mientras que mi acción se supone que debe ser en el conjunto de $A$

¿Cómo puedo visualizar el adecuado órbitas? ¿Cómo puedo ver la acción que se está produciendo en mi mente, de modo que estos malentendidos no ocurren? La pregunta sobre la transitividad también se mantiene, ya que la necesito para entender órbitas antes de la comprensión de la transitividad.

Answer 1

Ahora estoy tratando de comprender las órbitas.

Genial!!! Vamos a ver un ejemplo que ilustra lo órbitas. Tenga en cuenta que la habitual acción de la permutación grupo $S_4$ en el conjunto de $A = \{1,2,3,4\}$ es, en órbita-sabio, más bien aburrido. Esto es debido a que, por ejemplo, la órbita de $2$ bajo $S_4$ es $$ \text{orbe}(2) = \{\sigma (2) \,|\, \sigma \en S_4\} = \{1,2,3,4\}. $$ En otras palabras, no es sólo una órbita en $A$ bajo la acción de $S_4$.

Ahora un ejemplo interesante. Deje $G$ el grupo de rotación que actúa sobre el avión $\mathbb{R}^2$. La órbita del punto de $0 = (0,0) \in \mathbb{R}^2$ bajo $G$ es simplemente $\{0\}$. Sin embargo, la órbita de un no-cero punto $x \in \mathbb{R}^2$ es el círculo en $\mathbb{R}^2$ centrada en el origen y contiene a $x$. (Se puede ver por qué?)

En este caso, el conjunto de todas las órbitas es precisamente el conjunto de todos los círculos con centro en el origen, junto con $\{0\}$. Estos círculo se determina únicamente por un valor no negativo radio, y por lo tanto el conjunto de todas las órbitas pueden ser identificados con $\mathbb{R}_{\geq 0}$.

¿Cómo puedo visualizar el adecuado órbitas?

Creo que la pregunta de cómo visualizar en su mente y obtener un sentimiento intuitivo. Usted puede pensar de un grupo de $G$ actuando en $A$ como un conjunto de invertible transformaciones en $A$. Por ejemplo, $A$ podría ser la masa de pan, con $G$ actuando en $A$ por el plegamiento (o cuidado de despliegue). Si se coloca una semilla en la masa, todos los lugares de la semilla puede ir por plegamiento y desplegamiento es precisamente la órbita de la semilla en $G$.

Si usted siempre doblar la masa en la misma dirección hacia arriba, entonces la semilla no será capaz de moverse a izquierda y derecha y estará contenida en un plano.

Si agrega más transformaciones a $G$ y mezclar la masa como un loco, entonces la semilla será capaz de ir a todas partes y solo tiene una órbita.

En resumen: La órbita de la semilla $s$ bajo la acción de $G$ es el conjunto de todos los lugares donde $s$ puede terminar después de ser empujado por las transformaciones en $G$.