Secuencia de Cauchy en la media de

Question

Supongamos $\{f_n\}$ es una secuencia de funciones en $L_1$. Mostrar que $\{f_n\}$ es una secuencia de Cauchy en decir que si y sólo si

$\int_E f_n \, d\mu=x_n$ es una secuencia de Cauchy de números reales para todo conjunto medible $E,$ $\{f_n\}$ es una secuencia de Cauchy en la medida.

Yo soy capaz de probar la primera parte:

($\Rightarrow$) Desde la secuencia de Cauchy en $p$th decir implica una secuencia de Cauchy en cierta medida, sólo tenemos que demostrar que la secuencia de $\{x_n\}$ es una secuencia de Cauchy (podemos suponer que $E=\Omega$ es todo el espacio), sino que es precisamente la definición de una secuencia de Cauchy en $L_1$, por lo que estamos hecho

Estoy teniendo problemas para probar la segunda parte, ya que no tengo la estimación de $\int_E |f_n-f_m| \, d\mu$$|x_n-x_m|=|\int_E( f_n-f_m ) \, d\mu|$. Yo estaba atando a utilizar un Teorema, y también:

Teorema: Supongamos $\{f_n\}$ es una secuencia de funciones es $L_p$ y dejar

$\nu_n(E)$ = $\int_E |f_n|^p \, d\mu$. A continuación, $\{f_n\}$ es una secuencia de Cauchy en la pth decir que si una sólo si $\{f_n\}$ es una secuencia de Cauchy en la medida y de la familia, $\{\nu_n\}$ es equicontinuous en $\varnothing$.

Desde $\nu_n(\Omega)<\infty$, entonces solo tenemos que mostrar que la familia es absolutamente continua con respecto a $\mu$, y es precisamente aquí donde estoy atascado.

Answer 1

Lo que usted está tratando de demostrar que es verdadera, pero la prueba no es fácil. Es en realidad un teorema, llamado la Vitali-Hahn-Saks teorema.

Deje $\left( \Omega,\mathfrak{M},\mu\right) $ ser la medida del espacio con $\mu$ finito. Mediante la identificación de los conjuntos que se diferencian por un conjunto de $\mu$ medida cero podemos respecto a $\mathfrak{M}$ como un subconjunto cerrado $\mathcal{C}$ $L_{1}$ a través de la la asignación de $$ E\ \ en\mathfrak{M}\mapsto\chi_{E}. $$

Fix $\varepsilon>0$ $k\in\mathbb{N}$ definir los conjuntos $$ \mathcal{C}_{k}:=\left\{ \chi_{E}:\,E\ \ en\mathfrak{M}^{\prime},\,\sup _{n,\,l\geq k}\left\vert \int_{E}f_{n}\,d\mu\int_{E}f_{l}\,d\mu\right\vert \leq\varepsilon\right\} . $$ Pretendemos que los conjuntos de $\mathcal{C}_{k}$ están cerrados en $L_{1}$. De hecho, si $\left\{ \chi_{E_{j}}\right\} \subset\mathcal{C}_{k}$ converge en $L_{1}$ para algunos la función $f$, entonces, mediante la extracción de una larga (no recalificado), si es necesario, podemos suponer que la $\chi_{E_{j}}\left( x\right) \rightarrow f(x)$ para$\mu$.e. $x\in X$. Desde $\chi_{E_{j}}(x)$ sólo toma valores de $0$ y $1$, se deduce que el $f(x)\in\{0,1\}$$\mu$.e. $x\in X$. Por lo tanto, $f=\chi_{E_{\infty}}$ para un conjunto medible $E_{\infty}$. Desde $\chi_{E_{j}}(x)\leq1$ por cada $x\in\Omega$ y todos los $j$ $\mu$ es finito, podemos aplicar la Lebesgue teorema de convergencia dominada para conseguir que para cada $n\in\mathbb{N}$, $$ \lim_{j\rightarrow\infty}\int_{E_{j}}f_{n}\,d\mu=\int_{E_{\infty}}f_{n}\,d\mu. $$ Desde $\left\{ \chi_{E_{j}}\right\} \subset\mathcal{C}_{k}$ para cualquier fijo $n$,$\,l\geq k$\ y para todos los $j\in\mathbb{N}$, tenemos $$ \left\vert \int_{E_{j}}f_{n}\,d\mu\int_{E_{j}}f_{l}\,d\mu\right\vert \leq\varepsilon, $$ y así, dejando $j\rightarrow\infty$ obtenemos que $$ \left\vert \int_{E_{\infty}}f_{n}\,d\mu\int_{E_{\infty}}f_{l}\,d\mu \right\vert \leq\varepsilon, $$ lo que muestra que $f\in\mathcal{C}_{k}$. Por lo tanto, $\mathcal{C}_{k}$ es cerrado\ en $L_{1}$.

Por la integridad de los reales $\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{E}f_{n} \,d\mu$ exists in $\mathbb{R}$ for all $E\ \ en\mathfrak{M}$, lo cual implica que $$ \mathcal{C}=\bigcup_{k=1}\mathcal{C}_{k}. $$ La aplicación de la categoría de Baire teorema de la completa espacio métrico $\mathcal{C} $, at least one of the sets\ $\mathcal{F}_{k}$ tiene interior no vacío. Por lo tanto existen $\delta_{1}>0$, $k\in\mathbb{N}$, y $\chi_{E_{0}}\en \mathcal{C}_{k}$\ such that if $\chi_{E}\in\mathcal{C}$ y si \begin{equation} \int_{\Omega}\left\vert \chi_{E}-\chi_{E_{0}}\right\vert \,d\mu<\delta _{1},\label{lp vhs1} \end{equation} a continuación,$\chi_{E}\in\mathcal{C}_{k}$, es decir, \begin{equation} \sup_{n,\,l\geq k}\left\vert \int_{E}f_{n}\,d\mu-\int_{E}f_{l}\,d\mu \right\vert \leq\varepsilon\text{.}\label{lp vhs2} \end{equation} Puesto que cada función individual $f_{n}$ es integrable, podemos encontrar $0<\delta <\delta_{1}$\ tales que \begin{equation} \int_{E}\left\vert f_{n}\right\vert \,d\mu\leq\varepsilon\label{lp vhas3} \end{equation} para todos los $1\leq n\leq k$\ y para cada conjunto medible $E$ $\mu\left( E\ \ derecho) \leq\delta$.

Considere la posibilidad de un apreciable conjunto con $\mu\left( E\right) \leq\delta$. Entonces podemos escribir $ E=\left( E\copa E_{0}\right) \setminus\left( E_{0}\setminus E\right)$, con $$ \int_{\Omega}\left\vert \chi_{E\copa E_{0}}-\chi_{E_{0}}\right\vert \,d\mu<\delta_1,\quad\int_{\Omega}\left\vert \chi_{E_{0}\setminus E}-\chi_{E_{0} }\right\vert \,d\mu<\delta_{1}, $$ y así, \begin{align*} \sup_{n,\,l\geq k}\left\vert \int_{E\cup E_{0}}f_{n}\,d\mu-\int_{E\cup E_{0} }f_{l}\,d\mu\right\vert & \leq\varepsilon,\\ \sup_{n,\,l\geq k}\left\vert \int_{E_{0}\setminus E}f_{n}\,d\mu-\int _{E_{0}\setminus E}f_{l}\,d\mu\right\vert & \leq\varepsilon. \end{align*} De ello se deduce que para cualquier $n\geq k$, \begin{align*} \left\vert \int_{E}f_{n}\,d\mu\right\vert \leq & \left\vert \int_{E} f_{k}\,d\mu\right\vert +\left\vert \int_{E}f_{n}\,d\mu-\int_{E}f_{k} \,d\mu\right\vert \\ \leq & \int_{E}|f_{k}|\,d\mu+\left\vert \int_{E\cup E_{0}}f_{n}\,d\mu -\int_{E\cup E_{0}}f_{k}\,d\mu\right\vert \\ & +\left\vert \int_{E_{0}\setminus E}f_{n}\,d\mu-\int_{E_{0}\setminus E} f_{k}\,d\mu\right\vert \\ \leq & 3\varepsilon. \end{align*} En particular, mediante la sustitución de $E$ $E\cap\{f_{n}\geq0\}$ y, a continuación, con $E\cap\{f_{n}<0\}$ se sigue que $\int_{E}(f_{n})^{+}\,d\mu\leq3\varepsilon$ y que $\int_{E}(f_{n})^{-}\,d\mu\leq3\varepsilon$. Por lo tanto, $\int_{E} |f_{n}|\d\mu\leq3\varepsilon$.