¿Por qué es una contractura álgebra homomorphism entre las C*-álgebras necesariamente una C*-homomorphism?

Question

Supongamos que Φ es un álgebra de homomorphism de un unital C*-álgebra en otro unital C*-álgebra. Cómo probar que si $\| \Phi(x)\| \le \|x\|$ todos los $x$, $\Phi$ es una C*-homomophism? En otras palabras: Cómo probar que $\Phi$ conserva involuciones? Este es un ejercicio de Kehe de Zhu "Una introducción a las álgebras de operadores".

Answer 1

Debido a $\Phi(1)=1$ se sigue que $\Phi(x^{-1})=\Phi(x)^{-1}$ por cada invertible $x$ en el dominio. En particular, si $u$ es unitaria, entonces $\Phi(u)$ $\Phi(u^*)$ son inversos el uno del otro con la norma en la mayoría de las $1$. Si usted se da por descontado que los $C^*$-álgebras de se $*$-isomorfo a $C^*$-álgebras de operadores en el espacio de Hilbert, esto demuestra que $\Phi(u)$ es unitaria y $\Phi(u^*)=\Phi(u)^{*}$. (Si $T\in B(H)$ es invertible y $\|Tx\|\neq \|x\|$ algunos $x$, entonces cualquiera de las $T$ o $T^{-1}$ tiene norma mayor que $1$.)

Debido a $\Phi$ conserva involuciones en el unitaria de elementos y $C^*$-álgebras son atravesados por sus unitaria de elementos, $\Phi$ preserva de involuciones.

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Agregado: Sin recurrir a la representación en el espacio de Hilbert, pero (implícitamente) el uso de Gelfand de la teoría o de otros medios de conocimiento sobre los elementos positivos en $C^*$-álgebras, aquí está la prueba de que si $\|x\|=\|x^{-1}\|=1$ $x$ es unitaria.

Tenga en cuenta que $\sigma(x^*x)^{-1}=\sigma((x^*x)^{-1})=\sigma(x^{-1}(x^{-1})^*)$. Debido a $x^*x$ $x^{-1}(x^{-1})^*$ son positivos con la norma $1$, tienen espectro contenida en $(0,1]$. Por lo tanto $\sigma(x^*x)=\{1\}$, lo que implica $x^*x=1$.