Cómo demostrar $P(A) \cup P(B) \subseteq P(A \cup B) $

Question

Sea C un conjunto no vacío, que: $$C\in (\mathcal P(A) \cup \mathcal P(B))\implies C\in \mathcal P(A) \lor C\in \mathcal P(B) \implies C\subseteq A \lor C\subseteq B$$

Pero mi problema es si puedo decir:

Sea $x\in C$ entonces

$$\begin{align}& (x\in C \to x\in A) \lor (x\in C \to x\in B) \\[1ex] \implies & (x\not \in C \lor x\in A)\lor (x\not \in C \lor x\in B) \\[1ex] \implies & x\not \in C\lor(x\in A \lor x\in B) \\[1ex] \implies & (x\in C \to x\in (A\cup B)) \\[1ex] \implies & C\subseteq (A\cup B) \\[1ex] \implies & C\in \mathcal P(A\cup B)\end{align}$$

Es correcto mi prueba , no estoy seguro si puedo operar con operadores para conjuntos y operadores para lógica al mismo tiempo. Te agradecería tu ayuda.

Answer 1

No tienes que ir más lejos. Ya has establecido que $C\in\mathcal{P}(A)$ o $C\in\mathcal{P}(B)$ . Esto implica que $C\subset A$ o $C\subset B$ . Obsérvese que ambos conjuntos $A$ y $B$ son subconjuntos de $A\cup B$ . Por lo tanto, en cualquier caso, esto conducirá a $C\subset A\cup B$ . Por lo tanto, $$C\in\mathcal{P}(A\cup B).$$