Por qué $P_1\neq P_1P_2$?

Question

Pregunta: Si $P_1,P_2$ son distintos primer ideales de un artinian anillo, ¿por qué es que $P_1\neq P_1P_2$?

Sé que el primer ideales de un artinian anillo son máximas, pero aún así, no veo por qué $P_1=P_1P_2$ es imposible. Me imagino que debe ser muy fácil.

Answer 1

Tenga en cuenta que usted consigue $P_1=P_1P_2\subsetneq P_2$ , lo $P_1$ no es maximal.

Answer 2

Tenga en cuenta que $P_1P_2 \subseteq P_2$, por lo que si $P_1 = P_1P_2$, por maximality $P_1 = P_2$.