Calcular la distancia entre los puntos de intersección de las tangentes a una parábola

Question

• Pregunta

  De la tangente a las líneas de $T_1$ $T_2$ son dibujados a dos puntos de $P_1$ $P_2$ en la parábola $y=x^2$ y se intersecan en un punto de $P$. Otra línea tangente $T$ se dibuja en un punto entre el$P_1$$P_2$; la intersección $T_1$$Q_1$$T_2$$Q_2$. Mostrar que $$\frac{|PQ_1|}{|PP_1|} + \frac{|PQ_2|}{|PP_2|} = 1$$

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• Mi intento en la pregunta

  Puedo incluir un posible escenario de la gráfica de conveniencia'(espero) amor:

  El exterior de las dos tangentes son tangentes $T_1$$T_2$, y el interior de la tangente es tangente $T$.

  • Desde los puntos de $P_1$ $P_2$ son puntos sobre la parábola, se les puede dar las coordenadas de la siguiente manera, $$\tag 1 P_1(P_{1x}, P^2_{1x})$$ and $$\tag 2 P_2(P_{2x}, P^2_{2x})$$

• El uso de $y\prime = 2x$, calcular las ecuaciones de las tangentes $T_1$ $T_2$ respectivamente, son,

  $$T_1 = y = 2P_{1x}(x - P_{1x}) + P^2_{1x}$$

  y

  $$T_2 = y = 2P_{2x}(x - P_{2x}) + P^2_{2x}$$

  • Mediante el establecimiento $T_1 = T_2$ y luego resolver para $x$ I muestran que las dos tangentes se cortan en un punto de $x = \frac{P_{1x} + P_{2x}}{2}$, lo que en palabras se las dos tangentes a la parábola está a mitad de camino entre los puntos de $P_1$$P_2$.

    La sustitución de $x = \frac{P_{1x} + P_{2x}}{2}$ en cualquiera de la recta tangente a ecuaciones puedo obtener el $y$ coordenadas de la tangente de la línea de intersección, que es $y = P_{1x}\cdot P_{2x}$

    Ahora tengo las coordenadas para el punto de $P$ $$\tag 3 P\Big(\frac{P_{1x} + P_{2x}}{2}, P_{1x}\cdot P_{2x}\Big)$ $

  • Para obtener las coordenadas de los puntos de $Q_1$ $Q_2$ I se sustituye $Q_{1x}$ en la ecuación de la tangente $T_1$, y el sustituto de $Q_{2x}$ en la ecuación de la tangente $T_2$.

    Que los rendimientos de los siguientes para las coordenadas: $$\tag 4 Q_1(Q_{1x}, \,\,2P_{1x}Q_{1x} - P_{1x}^2)$$ $$\tag 5 Q_2(Q_{2x}, \,\,2P_{2x}Q_{2x} - P_{2x}^2)$$

  • Ya tengo todos los puntos necesarios para calcular el $\frac{|PQ_1|}{|PP_1|} + \frac{|PQ_2|}{|PP_2|}$, me siento inclinado a aplicar la fórmula de la distancia. Hacerlo arrojó los siguientes:

  $$\tag 6 |PQ_1| = \frac{\sqrt{(4P_{1x}^2 + 1)(P_{1x} + P_{2x} - 2Q_{1x})^2}}{2}$$

  $$\tag 7 |PP_1| = \frac{\sqrt{(4P_{1x}^2 + 1)(P_{1x} - P_{2x})^2}}{2}$$

  $$\tag 8 |PQ_2| = \frac{\sqrt{(4P_{2x}^2 + 1)(P_{1x} + P_{2x} - 2Q_{2x})^2}}{2}$$

  $$\tag 9 |PP_2| = \frac{\sqrt{(4P_{1x}^2 + 1)(P_{1x} - P_{2x})^2}}{2}$$

  • Ahora tengo que calcular $\frac{|PQ_1|}{|PP_1|} + \frac{|PQ_2|}{|PP_2|}$ usando el: $$\frac{|PQ_1|}{|PP_1|} + \frac{|PQ_2|}{|PP_2|} = \frac{\frac{\sqrt{(4P_{1x}^2 + 1)(P_{1x} + P_{2x} - 2Q_{1x})^2}}{2}}{\frac{\sqrt{(4P_{1x}^2 + 1)(P_{1x} - P_{2x})^2}}{2}} + \frac{\frac{\sqrt{(4P_{2x}^2 + 1)(P_{1x} + P_{2x} - 2Q_{2x})^2}}{2}}{\frac{\sqrt{(4P_{2x}^2 + 1)(P_{1x} - P_{2x})^2}}{2}}$$ $$\tag {10} =\frac{\sqrt{(P_{1x} + P_{2x} - 2Q_{1x})^2} + \sqrt{(P_{1x} + P_{2x} - 2Q_{2x})^2}}{\sqrt{(P_{1x} - P_{2x})^2}}$$

  • Me parece que no puede encontrar una manera de mostrar que $(10)$ es igual a $1$. Tengo, sin embargo probado un par de instancias y se levantó, para lo que vale. Pero por ahora, estoy en una pérdida en cuanto a cómo proceder.

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Consejos, sugerencias o planteamientos alternativos?

Answer 1

Supongamos que el tercer tangente dibujada en un punto de $A$ con coordenadas $A(a, a^2)$. A continuación, su tangente cruza $T_{i}$ a

$$ Q_{i}\left(\frac{P_{ix} +} {2}, P_{ix} \right) $$

utilizando la ecuación $(3)$. En otras palabras,

$$ 2(Q_{1} - Q_{2x})=P_{1}-P_{2x} $$

Por lo tanto, en el argumento de la raíz cuadrada en el numerador del primer término de (10),

\begin{align*} P_{1x} + P_{2x} - 2Q_{1x} &= P_{1x} + P_{2x} - 2[(P_{1x} - P_{2x})/2 + Q_{2x}] \\ &= 2(P_{2x} - Q_{2x}) \end{align*}

En general, $\sqrt{x^2} = |x|$, por lo que tenemos que averiguar el tamaño relativo de todo esto. Suponer sin pérdida de generalidad que $P_{2x} > P_{1x}$ por lo que el denominador de $(10)$$P_{2x} - P_{1x}$. Claramente $P_{2x} > Q_{2x}$, por lo que el primer término en el numerador es $2(P_{2x} - Q_{2x})$. Finalmente,

\begin{align*} P &< Q_{2x} \\ (P_{1x} + P_{2x})/2 &< Q_{2x} \\ P_{1x} + P_{2x} - 2Q_{2x} &< 0 \end{align*}

por tanto, el segundo término en el numerador es $2Q_{2x} - P_{1x} - P_{2x}.$ Poniendo todo esto junto:

\begin{align*} \frac{|P Q_{1}|}{|P P_{1}|} + \frac{|P Q_{2}|}{|P P_{2}|} &= \frac{2(P_{2x} - Q_{2x})+ (2Q_{2x} - P_{1x} - P_{2x})}{P_{2x} - P_{1x}} \\ &= \frac{(2P_{2x} - P_{2x}) - P_{1x} + (2Q_{2x} - 2Q_{2x})}{P_{2x} - P_{1x}} \\ &= \frac{P_{2x} - P_{1x}}{P_{2x} - P_{1x}} \\ &= 1 \end{align*}