Es $\mu(\cup A_n)=\sum\mu(A_n)$ una exageración?

Question

En la definición de una medida positiva $\mu$ a través de un resumen medir el espacio $(X,\mathcal A)$ no está diciendo que la

para cualquier contables pares distintos de la colección de $\{A_n\}\subset\mathcal A,~\mu(\cup A_n)=\sum\mu(A_n)$ una exageración? Creo que es suficiente para decir $A,B\in\mathcal A,~\mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B)?$

Bueno, yo puedo ver que si cada una de las $\mu(A_n)$ es finito entonces, tanto la secuencia que se monotono, ya sea convergente para el mismo límite o diverge a$+\infty.$, sin Embargo si al menos uno de los $\mu(A_k)$$+\infty$, en ambos lados de la igualdad de $\infty$. Qué está mal con la lógica?

Me gustaría citar de la siguiente conferencia de la nota que me motiva a hacer la pregunta:

Answer 1

No hay ninguna razón para pensar que $$\lim_{n\to\infty}\mu\left(\bigcup_{k=1}^n A_k\right) = \mu\left(\bigcup_{k=1}^\infty A_k\right)$$

Es claro que, con aditividad finita, consigue $$\lim_{n\to\infty}\mu\left(\bigcup_{k=1}^n A_k\right) \leq \mu\left(\bigcup_{k=1}^\infty A_k\right)$$

pero quieres igualdad.

Un ejemplo simple donde que no es el número natural que la "densidad" de la medida. Para $X\subseteq \mathbb N$, definir $$\mu(X)=\lim_{n\to\infty} \frac{\left|X\cap [1,n]\right|}{n}$$

Esto satisface la aditividad finita, pero no contables aditividad.

Por ejemplo, $A_k=\{k\}$ cada uno tiene medida cero, sino $\mu\left(\cup A_k\right)=1$.

Answer 2

De lo que se habla se llama finitely aditivo medida. Hay finitely aditivo medidas que no son las medidas adecuadas (es decir, no countably aditivo). Ver aquí para un contraejemplo.