Estos tipos de relaciones inversas son equivalentes a ortogonal de las relaciones entre conjuntos de números.
Supongamos que se tienen dos triangular conjuntos de números $a_{n,k}$$b_{n,k}$, cada uno definido por $k = 0, 1, \ldots, n$, de tal manera que $$\sum_{k=m}^n b_{n,k} a_{k,m} = \delta_{nm}.$$ Then $a_{n,k}$ and $b_{n,k}$ are orthogonal, and they have the inverse property you are asking for in (3); i.e., if $f_n = \sum_{k=0}^n a_{n,k} g_k$ then $g_n = \sum_{k=0}^n b_{n,k} f_k$, y viceversa.
Prueba: $$\sum_{k=0}^n b_{n,k} f_k = \sum_{k=0}^n b_{n,k} \sum_{m=0}^k a_{k,m} g_m = \sum_{m=0}^n \left(\sum_{k=m}^n b_{n,k} a_{k,m}\right) g_m = g_n.$$
Por lo tanto binomio de inversión de la siguiente manera a partir de la "hermosa identidad" $$\sum_{k=m}^n (-1)^{k+m} \binom{n}{k} \binom{k}{m} = \delta_{nm}.$$
Desde el ortogonal relación y la relación inversa que son equivalentes, tal vez la prueba de esta identidad dada por Aryabhata o la prueba de Yuval Filmus puede ser considerado como una combinatoria de la prueba de la relación inversa que se describen por los coeficientes binomiales.
Otros ejemplos
El Lah números de $L(n,k)$ satisfacer $$\sum_{k=m}^n (-1)^{k+m} L(n,k) L(k,m) = \delta_{nm},$$ y así, como los coeficientes binomiales, son (y firmar) auto-ortogonal y tener la relación inversa
$$f_n = \sum_{k=0}^n L(n,k) g_k \Leftrightarrow g_n = \sum_{k=0}^n (-1)^{k+n} L(n,k) f_k.$$
Los dos tipos de números de Stirling, $\left[ n \atop k \right]$$\left\{ n \atop k \right\}$, son ortogonales, la satisfacción de
$$\sum_{k=m}^n (-1)^{k+m} \left[ n \atop k \right] \left\{ k \atop m \right\} = \delta_{nm}$$
y
$$\sum_{k=m}^n (-1)^{k+m} \left\{ n \atop k \right\} \left[ k \atop m \right] = \delta_{nm}.$$
Por lo tanto satisfacen la relación inversa
$$f_n = \sum_{k=0}^n \left[ n \atop k \right] g_k \Leftrightarrow g_n = \sum_{k=0}^n (-1)^{k+n} \left\{ n \atop k \right\} f_k.$$
John Riordan escribió un libro "Relaciones Inversas y la Combinatoria de las Identidades" (American Mathematical Monthly 71 (5), Mayo de 1964, pp 485--498) y dedicado a dos de los seis capítulos de su texto Combinatoria de las Identidades de estos tipos de relaciones inversas. Por ejemplo, se muestra cómo las relaciones inversas pueden ser derivadas de los polinomios de Chebyshev (ya que son ortogonales) y los polinomios de Legendre (ya que también son ortogonales). Ver el artículo o el libro muchos más ejemplos.
Comentarios adicionales y consecuencias
La prueba utilizando el ortogonal relación también puede ser aplicado con respecto a la parte superior del índice para obtener la inversa de relaciones basadas en la parte superior del índice en lugar de la inferior. Así, por ejemplo, también tenemos (siempre, claro está, que las sumas convergen) $$f_n = \sum_{k=n}^\infty \binom{k}{n} g_k \Leftrightarrow g_n = \sum_{k=n}^\infty (-1)^{k+n} \binom{k}{n} f_k,$$
así como el mismo tipo de cosa para el Lah números, los números de Stirling, y el resto de los ejemplos.
Además, estos ortogonal de relaciones significa que las matrices que consiste ortogonal números son inversos. Así, por ejemplo, si $A$ $B$ $n \times n$ matrices tales que el$A_{ij} = \binom{i}{j}$$B_{ij} = (-1)^{i+j} \binom{i}{j}$, entonces la relación ortogonal implica que $AB = I$. Esto, por supuesto, significa que $BA = I$, y así cada relación ortogonal va en ambos sentidos; es decir, $$\sum_{k=m}^n b_{n,k} a_{k,m} = \delta_{nm} \Leftrightarrow \sum_{k=m}^n a_{n,k} b_{k,m} = \delta_{nm}.$$
Para más información sobre matrices inversas que consta de combinatoria de números, véase mi respuesta a la pregunta "los números de Stirling y matrices inversas."
