Mostrar que todas las derivadas parciales de $f$ wrt $x$ existen en todos los puntos de $\mathbb{R^2}$

Question

Deje $\displaystyle f(x,y)=\frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2}$$f(0)=0$. Mostrar que todas las derivadas parciales de $f$ wrt $x$ existen en todos los puntos de $\mathbb{R^2}$

Yo:

Con respecto a $f_x$, está claro que $f_x$ existe para todas las $(x,y)\neq 0$. He demostrado que los $f_x$ existe en $(0,0)$ usando la definición de límite. Pero este problema se pide demostrar la existencia de todos los otros $f_{xx},f_{xxx},...$. ¿Cómo puedo mostrar? No es posible calcular todos. Hay un método general para mostrar? Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Considere la posibilidad de un punto de $(x_0,y_0)\in{\mathbb R}^2$$y_0\ne0$. Luego hay un $2$D vecindario $U$ de este punto dentro de la cual la fórmula $$f(x,y)={-2xy\over (x^2+y^2)^2}$$ se aplica. Una simple inducción de prueba usando el cociente de la regla, a continuación, muestra que para todos los $n\geq0$ uno tiene $${\partial^n f\over\partial x^n}(x,y)={p_n(x,y)\over (x^2+y^2)^{2+n}}\qquad\bigl((x,y)\in U\bigr)\ ,$$ cual $p_n(x,y)$ es de un cierto polinomio. De ello se desprende que $f$ tiene derivadas parciales con respecto a $x$ de todos los pedidos en $(x_0,y_0)$.

Queda por considerar puntos de $(x_0,0)\in{\mathbb R}^2$. La función parcial $\psi(x):=f(x,0)$ luego $\equiv 0$ completo en un vecindario $\>]x_0-h,x_0+h[\>$$x_0$, por lo que obtenemos $${\partial^n f\over\partial x^n}(x_0,0)=\psi^{(n)}(x_0)=0\ .$$

Answer 2

Primero de todo, si $y=0$ la función es idéntica 0 y por lo tanto diferenciable en a $x$.

Fijar un valor de $y\not=0$ y considere la función $g_y(x)=\frac{1}{x^2+y^2}$. Esta es una función racional que no tiene singularidades, por lo tanto es en $C^{\infty}(\mathbb R)$. Desde $$f(x,y)=y\frac{d}{dx}g_y(x),$$ de ello se desprende que $f(x,y)$ es infinitamente diferenciable w.r.t. $x$.