Cómo identificar "natural" de dos subespacios?

Question

Soy auto-estudio de Hoffman y Kunze del libro de Álgebra Lineal. Este ejercicio es $1$ a partir de la página $111$.

Si $W$ es un subconjunto de un espacio vectorial $V$, definimos $W^{0}=\{f\in V^{\star}|f(w)=0 \operatorname{for all}w\in W\}.$

Deje $n$ ser un entero positivo y $\mathbb{F}$ ser un campo. Deje $W$ ser un conjunto de todos los vectores $(x_{1},\ldots,x_{n})$ $\mathbb{F}^{n}$ tal que $x_{1}+\cdots+x_{n}=0$.

a) Demostrar que $W^{0}$ se compone de todos los funcionales lineales $f$ de la formulario de $$f(x_{1},\ldots,x_{n})=c(\sum_{j=1}^{n}x_{j}).$$

b) Mostrar que el espacio dual $W^{\star}$ $W$ puede ser "naturalmente" identificado con los funcionales lineales $$f(x_{1},\ldots,x_{n})=c_{1}x_{1}+\cdots+c_{n}x_{n}$$ en $\mathbb{F}^{n}$ que satisfacer $c_{1}+\cdots+c_{n}=0$.

Mi enfoque para la parte a) en Primer lugar, tomamos nota de que $e_{i}-e_{j}\in W$ todos los $i,j\in\{1,2,\ldots,n\}$. Si $f\in W^{0},$, luego tenemos a $f(e_{i})-f(e_{j})=f(e_{i}-e_{j})=0.$ por lo Tanto $f(e_{i})=f(e_{j})$ y tenemos $f(e_{i})=c$, para todos los $i\in \{1,2,\ldots,n\}$ donde $c$ es una constante. Por lo tanto, si $w=(x_{1},\ldots,x_{n})\in W$, $f(x_{1},\ldots,x_{n})=c(\sum_{j=1}^{n}x_{j}).$ El conversar es fácil.

Yo no era capaz de resolver la parte b).

Answer 1

Vamos $$H = \{f \(\mathbb F^n)^* \mid f(x_1, \ldots, x_n) = \sum c_ix_i \text{ y } \sum c_i = 0 \}.$$ Hay un mapa de $(\mathbb F^n)^* \to W^*$ dado por la restricción—si te gusta, este es el dual $i^*$ de la inclusión $i\colon W \to \mathbb F^n$. Restringir esta a un mapa de $H \to W^*$ y mostrar que se puede obtener un isomorfismo. Para esto, se puede utilizar el hecho de que el núcleo de $i^*$ es, precisamente,$W^0$. ¿Qué es $W^0 \cap H$?

Yo tome la palabra "natural" de aquí a decir, "no basta con identificar a $W$ $H$ debido a que tienen la misma dimensión." La palabra significa a menudo "base libre" (o functorial), pero aquí me parece que hemos elegido una base por el mero hecho de escribir $\mathbb F^n$. En general, si tengo un espacio vectorial $V$ y un subespacio $W \subset V$, el doble de $W$ es naturalmente más identificado con el cociente $V^*/W^0$. (En el mismo espíritu, se puede encontrar algo naturalmente isomorfo a $(V/W)^*$?)