Desigualdad integral que implica $f(x),\, x\,f(x),\, f(x)^2$

Question

Dejemos que $f\colon[-1,1]\to\mathbb{R}$ sea una función continua. Demostrar que $$2\int_{-1}^{1}f(x)^2\: dx - \left(\int_{-1}^{1}f(x)\: dx\right)^2 \ge 3\,\left(\,\int\limits_{-1}^{1}x\,f(x)\: dx\right)^2$$

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He encontrado algo parecido:

Desigualdad integral $\int\limits_0^1f^2(x)dx\geq12\left( \int\limits_0^1xf(x)dx\right)^2.$

pero no sé si una estimación de ese tipo puede aplicarse aquí.

Answer 1

Es útil aprovechar el hecho de que Polinomios de Legendre dan una base ortogonal completa de $L^2(-1,1)$ con el producto interno habitual. Dada: $$f(x) = \sum_{n\geq 0} a_n P_n(x) \tag{1}$$ que tenemos: $$\begin{array}{llcl}\text{(Parseval's identity)}&\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)^2\,dx &=& \displaystyle2\sum_{n\geq 0}\frac{a_n^2}{2n+1},\\ (P_0(x)=1)&\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)\,dx &=& \displaystyle2a_0,\tag{2}\\(P_1(x)=x)& \displaystyle\int_{-1}^{1} x\,f(x)\,dx &=& \displaystyle\frac{2}{3}a_1\end{array}$$

por lo que la desigualdad original es equivalente a $$4\sum_{n\geq 0}\frac{a_n^2}{2n+1}-4a_0^2\geq \frac{4}{3}a_1^2 \tag{3}$$ o a:

$$\sum_{n\geq 2}\frac{a_n^2}{2n+1}\geq 0 \tag{4}$$

que es trivial. También tenemos que la igualdad se alcanza sólo con funciones lineales, $f(x)=a+bx$ .

Answer 2

Dejemos que $\displaystyle\;\bar{f} = \frac12\int_{-1}^1 f(x) dx\;$ y $g(x) = f(x) - \bar{f}$ . Es fácil de comprobar $$\int_{-1}^1 g(x) dx = 0 \quad\text{ and }\quad \int_{-1}^1 x g(x) dx = \int_{-1}^1 xf(x) dx$$ El LHS de la desigualdad en cuestión se puede reescribir como $$\verb/LHS/ = 2\int_{-1}^1 (g(x) + \bar{f})^2 dx - 4\bar{f}^2 = 2\int_{-1}^1 g(x)^2 dx = 3\left(\int_{-1}^1 x^2 dx\right)\left(\int_{-1}^1 g(x)^2 dx\right)$$ Aplicar Cauchy Schwarz a $x$ y $g(x)$ en $[-1,1]$ encontramos

$$\verb/LHS/ \ge 3 \left(\int_{-1}^1 xg(x)\right)^2 = 3 \left(\int_{-1}^1 xf(x) dx\right)^2 = \verb/RHS/$$