Así que no hay términos como $\sqrt{\sin x}$ y otras cosas.
Respuesta
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No estoy seguro de lo que quieres, pero te puedo decir lo siguiente: $\sqrt{3+\sqrt{3}}$ no puede ser representada como una función racional de $\sin (q\pi)$$\cos(q\pi)$$q\in \mathbb{Q}$. Por ejemplo, $\sqrt{2+\sqrt{3}} = 1/(2\sin (\pi/12))$, por lo que es posible para $\sqrt{2+\sqrt{3}}$.
Para probar esto, necesitamos un Kronecker-Weber teorema: $\mathbb{Q}^{ab}=\mathbb{Q}^{cyc}$ donde $\mathbb{Q}^{ab}$ es la máxima abelian extensión de $\mathbb{Q}$ (es decir, compositum de todos finito abelian extensiones de $\mathbb{Q}$), y $\mathbb{Q}^{cyc}$ es la máxima cyclotomic extensión de $\mathbb{Q}$, que es un compositum de todos finito cyclotomic extensiones de $\mathbb{Q}$ ($\mathbb{Q}^{cyc} = \bigcup_{n}\mathbb{Q}(\zeta_{n})$ donde $\zeta_{n}$ es $n$-ésima raíz de la unidad.).
Supongamos que $\alpha = \sqrt{3+\sqrt{3}}=F(\sin(q\pi), \cos(q\pi))$ para algunos la función racional $F(x, y)\in \mathbb{Q}(x, y)$$q\in \mathbb{Q}$. A continuación de la fórmula de Euler $e^{ix} = \cos x+i\sin x$, debemos tener $\alpha\in \mathbb{Q}^{cyc}=\mathbb{Q}^{ab}$. Sin embargo, el polinomio mínimo de a$\alpha$$\mathbb{Q}$$x^{4}-6x^{2}+6$, que es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ (por el criterio de Eisenstein con $p=3$) y tiene un grupo de Galois $D_{8}$, que es nonabelian. Por lo tanto es imposible.
Edit : creo que no necesitamos de Kronecker-Weber aquí, ya que es fácil demostrar que cyclotomic extensiones de abelian. El oppsite parte es duro y esto es exactamente de Kronecker-Weber thm hace su trabajo.
