Cómo encontrar el conjunto de $c$ para que el conjunto de Julia de $x^2+c$ completo se encuentra en $\mathbb{R}$?

Question

Cómo encontrar el conjunto de $c$ para que el conjunto de Julia de $x^2+c$ completo se encuentra en $\mathbb{R}$?

Sé que $c=-2$ debe satisface esta porque $J(x^2-2)=[-2,2]\in \mathbb{R}$. Sin embargo, para otros $c$, es muy difícil de analizar. También, Es la parte de una $J$ $\mathbb{R}$ siempre un fractal a excepción de $c=0$ o $c=-2$?

Answer 1

Cómo encontrar el conjunto de $c$ para que el conjunto de Julia de $x^2+c$ completo se encuentra en $\mathbb R$?

Buena pregunta. La respuesta es $c \in (-\infty,-2]$. Para la dirección demostrando que para cualquiera de dichas $c$ el conjunto Julia está contenida en $\mathbb R$, demostrar que para todos los $c \in (-\infty,-2)$, el conjunto de puntos reales que no escapan al infinito es un conjunto de Cantor contenida en $[-\beta_c, \beta_c]$ donde $\beta_c:=\frac{1+\sqrt{1-4c}}{2}$ (use el hecho de que $f_c(\beta_c)=\beta_c$$f_c(-\beta_c)=\beta_c$).

Por la teoría general de la dinámica de polinomios cuadráticos, el conjunto de Julia es el más pequeño cerrado completamente invariante conjunto no vacío (excepto si $f(z)=z^2$, en cuyo caso usted tendrá que excluir $\{0\}$). De modo que su conjunto de Cantor contiene el conjunto de Julia y de hecho es igual a ella.

Ahora en el otro sentido. En primer lugar, tenga en cuenta que si el conjunto de Julia de $f_c$ está contenido en $\mathbb R$ $c$ debe ser real (el conjunto de Julia es invariante y contiene más de 3 puntos; y un polinomio cuadrático que se asigna tres puntos reales a tres puntos reales deben tener coeficientes reales). Hay un teorema que dice que si $c$ es en el conjunto de Mandelbrot y no es ni $-2$ ni $0$, entonces la dimensión de Hausdorff de $J(f_c)$ es más que uno; por lo tanto, para $c$ en el conjunto de Mandelbrot el único de los candidatos se $c=-2$ o $c=0$. El primero funciona, pero no el segundo.

Finalmente queda excluir $c > \frac{1}{4}$. Para tales valores de $c$, $\beta_c:=\frac{1+i\sqrt{4c-1}}{2}$ es un fijo, para repeler punto, por lo que es en el conjunto Julia; pero no es real.

También, Es la parte de una $J$ $\mathbb R$ siempre un fractal a excepción de $c=0$ o $c=−2$?

No. Si tomamos, por ejemplo,$f_c(z)=z^2+\frac{1}{4}$, entonces la intersección de la Julia con $\mathbb R$ es sólo $\{ \pm \frac{1}{2} \}$; en particular, no es fractal (hay otros ejemplos donde la intersección de la Julia con $\mathbb R$ es contable, por lo que todavía no es un fractal).