Enteros, divisibilidad

Question

Deje $x_1, x_2, \cdots, x_n$ ser números enteros tales que

$$5040 \mediados de x_1+x_2+\cdots+x_n,\\ 5040 \mediados de x_1^3+x_2^3+\cdots+x_n^3,\\ 5040 \mediados de x_1^5+x_2^5+\cdots+x_n^5, $$

Entonces demostrar que $$5040 \mid x_1^7+x_2^7+\cdots+x_n^7.$$

Yo no sé ni por donde empezar... Todo lo que sé es que $5040$ es un gran número compuesto con $60$ divisores y que tiene todos los números primos consecutivos $2$, $3$, $5$ y $7$ en su factorización.

Answer 1

Tenga en cuenta que $5040=7!$. Deje $f(x) = (x-3)(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)(x+3)\in \mathbb{Z}[x]$, que es una extraña polinomio y por lo $f(x) = x^{7}+ax^{5}+bx^{3}+cx$ algunos $a, b, c\in \mathbb{Z}$. A continuación, para cualquier $n\in \mathbb{Z}$, $f(n)$ es un múltiplo de a $7!$ ya que es un producto de siete enteros consecutivos. Ahora si $\sum_{i}x_{i}^{m}$ son múltiples de $7!$$m=1, 3, 5$, $$\sum_{i}x_{i}^{7} = \sum_{i}f(x_{i}) -a\sum_{i}x_{i}^{5}-b\sum_{i}x_{i}^{3}-c\sum_{i}x_{i}$$ también es múltiplo de $7!$.