He visto 2 fórmulas: $\tau = I \alpha$$\tau = I \dot\omega + \omega \times I \omega$. La que se utilizo en cuyo caso, por favor? También, tengo derecho a pensar que $\alpha$ a partir de la primera fórmula es $\dot\omega$ a partir de la segunda?
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accipehoc
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He visto 2 fórmulas: $\tau = I \alpha$$\tau = I \dot\omega + \omega \times I \omega$. La que se utilizo en cuyo caso, por favor?
Utilice la primera fórmula en la introducción a la física clases, construida especialmente para los problemas que evitar las cuestiones relacionadas con la segunda fórmula, y también en la práctica la configuración que por su diseño y operación de hacer la $\vec \omega \times \mathrm I \vec \omega$ plazo muy pequeño. Por ejemplo, es una buena idea para mantener la las ruedas de su coche equilibrado, así como a mantener las cuestiones relacionadas con el segundo término de una apenas perceptible mínimo.
Puede usar la segunda fórmula en la configuración más avanzada cuando el razonamiento desde la perspectiva de un marco de referencia fijo con respecto a la rotación del objeto. Este es un marco giratorio, y la rotación de los marcos de resultados en ficticio fuerzas y ficticios pares. Una manera de ver que $\vec \omega \times \mathrm I \vec \omega$ plazo es que es un ficticio par.
Hay una tercera opción, que es la razón desde la perspectiva de un marco inercial. El análogo rotacional de la segunda ley de Newton resultados en $\vec \tau = \dot {\vec L}$. Desde $\vec L=\mathrm I \vec \omega$, el análogo rotacional de la segunda ley de Newton se convierte en $\tau = \mathrm I \dot {\vec \omega} + \dot {\mathrm I} \vec \omega$. El segundo término, $\dot {\mathrm I} \vec \omega$, surge debido a que el tensor de inercia en general no es constante desde la perspectiva de un marco inercial. Sin derivación, el tiempo de derivados del tensor de inercia desde la perspectiva de un marco inercial es el colector $[\operatorname{Sk}(\vec \omega), \mathrm I] = \operatorname{Sk}(\vec \omega) \mathrm I - \mathrm I \operatorname{Sk}(\vec \omega)$ donde $\operatorname{Sk}(\vec \omega)$ es la inclinación simétrica de la cruz matriz del producto generado a partir de los vectores $\vec \omega$.
Esto sugiere que no hay más que $\vec \omega \times \mathrm I \vec \omega$ plazo de sólo un ficticio par. Ampliando el marco inercial de plazo $\dot {\mathrm I} \vec \omega$ resultados en $\vec \tau = \mathrm I \dot {\vec \omega} + \operatorname{Sk}(\vec \omega) \mathrm I \vec \omega - \mathrm I \operatorname{Sk}(\vec \omega) \vec \omega$. El término final, $\mathrm I \operatorname{Sk}(\vec \omega) \vec \omega$, desaparece, dejando sólo $\vec \tau = \mathrm I \dot {\vec \omega} + \operatorname{Sk}(\vec \omega) \mathrm I \vec \omega = \mathrm I \dot {\vec \omega} + \omega \times \mathrm I \vec \omega$, que es idéntica a la de la rotación del marco de la formulación.
Casi nadie utiliza el marco inercial de POV porque tener un tiempo variable en el tensor de inercia es demasiado desagradable.
Entonces, ¿cómo es que marco giratorio formulación surgir? La respuesta se encuentra en lo que algunos llaman la cinemática de transporte teorema, $$\left(\frac {d\vec q} {dt}\right)_I = \left(\frac {d\vec q} {dt}\right)_R + \vec \omega \times \vec q$$ donde $\vec q$ es cualquier vectorial de la cantidad en $\mathbb R^3$, los subíndices $I$ $R$ en los derivados denotar las derivadas desde la perspectiva de un marco inercial frente a un marco giratorio y $\vec \omega$ es la velocidad angular de la rotación del marco con respecto al marco inercial. Sustituyendo $\vec q$ $\vec L = \mathrm I \vec \omega$ rendimientos $$\vec \tau = \dot {\vec L}_I = \dot {\vec L}_R + \vec \omega \times \vec L = \mathrm I \dot {\vec \omega} + \vec \omega \times \mathrm I \vec \omega$$
Un lado de la cuestión es la forma de demostrar este teorema de transporte de. Esa es una buena pregunta. Como un aparte, mi officemate (un ex profesor de física que se convirtió en descontento con el mundo académico) y me encontré con los dos estábamos un poco disgustado con la mano de onda derivaciones utilizados en muchos la física y la ingeniería de los libros de texto. Fuimos a través de un número de ellos, categorizarlos como (1) "OMG. La física matemática de nuevo." (2) "OMG! Demasiado matemáticas!", y (3) "OMG!! Ricitos de oro de las matemáticas!". La mayoría de los textos que hemos mirado cayó en la primera categoría (y que incluye una serie de cursos a nivel de posgrado de los textos). Un pequeño número había una derivación como un apéndice que cayó en la segunda categoría. No encontramos un solo texto que cayó en la ricitos de oro de la categoría.
Sí, $\alpha = \dot{\omega}$, siendo la aceleración angular. La primera ecuación es caso especial de la segunda ecuación.
Para un objeto general el momento de inercia no es sólo un escalar (un único valor), pero un tensor, en ese caso, usted tiene que utilizar la segunda ecuación. $\tau$ $\omega$ son entonces los vectores y $I$ es una matriz de 3x3.
Pero cuando usted hace girar un objeto alrededor de uno de sus altos ejes de simetría (uno de los vectores propios de la inercia de la matriz de $I$), la ecuación se simplifica a su primera ecuación. Prueba:
Si $\vec{\omega}$ es un autovector de a $\hat{I}$ sostiene que: $\hat{I} \vec{\omega} = \lambda \space \vec{\omega} = \vec{\omega} \space \lambda$ Por lo tanto, su segunda ecuación se convierte en: $\vec{\tau} = \hat{I}\dot{\omega} + \vec{\omega} \times \vec{\omega} \space \lambda$ y $\vec{\tau} = \hat{I}\dot{\omega} + 0$ desde el crossproduct de un vector consigo mismo es 0.
