Si un complejo de cadenas es equivalente en homotopía a su homología, ¿se divide?

Question

Configuración y convenciones: Dejemos que $C_*$ sea un complejo de cadenas de $R$ -sobre algún anillo $R$ , con mapa de límites $d$ . Se dice que el complejo de la cadena es dividir si existe $R$ -Mapas lineales $s: C_*\rightarrow C_{*+1}$ tal que $d=dsd$ . Un mapa en cadena $f:C_*\rightarrow D_*$ es nullhomotopic si existe $R$ -Mapas lineales $s:C_*\rightarrow D_{*+1}$ tal que $f = ds + sd$ ; los dos mapas de la cadena son homotópico si su diferencia es nulahomotópica; y dos complejos $C_*$ y $D_*$ son equivalente de homotopía si existen mapas en cadena $f:C_*\rightarrow D_*$ y $g:D_*\rightarrow C_*$ tal que $gf$ y $fg$ son homotópicos a los mapas de identidad respectivamente en $C_*$ y $D_*$ . La homología $H_*(C)$ de un complejo de cadenas $C_*$ es a su vez un complejo de cadena con todos los mapas de frontera cero, de modo que si $Z_*$ es el subcomplejo de ciclos y $B_*$ es el subcomplejo de límites, $0\rightarrow B_*\rightarrow Z_*\rightarrow H_*(C)\rightarrow 0$ es una secuencia exacta en la categoría de complejos de cadena.

Mi pregunta: Ejercicio 1.4.4 de la obra de Charles Weibel Introducción al Álgebra Homológica nos pide que proporcionemos un ejemplo de un complejo de cadenas que sea homotópico equivalente a su homología, pero que no esté dividido. Después de pensarlo bastante, he llegado a lo que me parece una prueba de que es imposible. Pero no me parece plausible que Weibel se haya equivocado o haya hecho una pregunta capciosa, así que algo debe estar mal en mi prueba.

¿Puedes ayudarme a encontrar lo que está mal en la prueba?

Mi prueba (debe ser defectuosa): Dejemos que $C_*$ sea el complejo en cadena postulado, y sea $H_*(C)$ sea su homología. Por supuesto, tenemos mapas en cadena $f:C_*\rightarrow H_*(C)$ y $g:H_*(C)\rightarrow C_*$ tal que $gf$ y $fg$ son homotópicos a los mapas de identidad.

Primero considere $fg:H_*(C)\rightarrow H_*(C)$ . Asumimos una $s':H_*(C)\rightarrow H_{*+1}(C)$ tal que $1-fg = ds'+s'd$ . Sin embargo, $d:H_*(C)\rightarrow H_{*-1}(C)$ es cero, por lo que $fg = 1$ . Así, $f$ es suryente y $g$ es inyectiva.

Para cada $n$ , dejemos que $H_n'$ sea la imagen de $H_n(C)$ en $C_n$ en $g$ . Entonces $gf$ es una proyección $C_n\rightarrow H_n'$ es una proyección porque $(gf)^2=g(fg)f=gf$ y su imagen es $H_n'$ porque $f$ es suryente.

Dejemos que $\pi = 1 - gf$ . Por supuesto, $\pi$ es nulo-homotópico (ya que $gf$ es homotópica a la identidad), por lo que existe $R$ -lineal $s:C_*\rightarrow C_{*+1}$ tal que $\pi = ds + sd$ . Desde $gf$ es una proyección, $\pi$ es una proyección a $gf$ (que vamos a llamar $A_n$ ), y $C_n = A_n \oplus H_n'$ .

Ahora considere el diagrama $$\begin{array} HH_n(C) & \xrightarrow{g} & C_n\\ \downarrow_{d=0} & & \downarrow_d\\ H_{n-1}(C) & \xrightarrow{g} & C_{n-1} \end{array}$$ que conmuta por la suposición de que $g$ es un mapa en cadena. Dado que $gd = g\circ 0 = 0$ , $dg=0$ lo que significa que $d$ La restricción de la empresa a $\operatorname{im}g = H_n'$ es cero.

Pero esto implica que si $c\in C_n$ Entonces, con $c = a+h$ con $a = \pi(c)\in A_n$ , $h=gf(c)\in H_n'$ tenemos $d(c) = d(a)$ . Y esto es lo mismo que decir que $d = d\pi$ .

Y $d\pi = d(ds + sd) = d^2s + dsd = dsd$ desde $d^2=0$ . Así, $d=dsd$ y $s$ realiza $C_*$ como dividido.

Esto me parece QED ¿Qué me falta? ?

Nota: esta pregunta es similar a este anterior pero me pareció que valía la pena preguntarlo, tanto porque esa pregunta no tiene respuesta (actualización 8/23: la he respondido), como porque estoy haciendo una pregunta diferente: Estoy esperando específicamente para el compromiso con mi (lo que debe ser defectuoso) la lógica, y no necesito un ejemplo real de un complejo no dividido h.e. a su homología.

Adenda 8/22: Me di cuenta de que mi argumento se puede dar de forma aún más limpia, sin depender de la descomposición de la suma directa de $C_n$ o incluso la necesidad de argumentar que $gf$ es una proyección:

Suponiendo que $C_*$ es equivalente en homotopía a su homología, sea $f,g$ sea como el anterior. Entonces $dg=0$ simplemente porque $g$ es un mapa en cadena, por el diagrama conmutativo anterior. Y $1-gf=ds+sd$ para algunos $R$ -lineal $s:C_*\rightarrow C_{*+1}$ porque $f,g$ realizan una equivalencia de homotopía. Entonces:

$$d = d-0 = d(1-gf) = d(ds+sd) = 0+dsd = dsd$$

porque $d^2=0$ . QED ¿verdad?

Además, los comentarios de peter a g parecen zanjar la cuestión a favor de h.e. a la homología $\Rightarrow$ dividir.

Answer 1

La prueba (o pruebas, con la adenda) anterior parece (parece) correcta, y el ejercicio original, tal y como aparecía en el texto, era erróneo.

De hecho, véase http://www.math.rutgers.edu/~weibel/Hbook-correcciones.html para las correcciones de Charles Weibel Introducción al Álgebra Homológica . La página (actualmente) tiene enlaces a las ediciones en papel de 1994 y 1995, y el enlace de la edición en papel contiene (cita directa)

p.18 línea 3: Sustituir la frase "Dar un ejemplo..." por: "A la inversa, si C y H(C) son equivalentes en cadena homotópicas equivalentes, demuestre que C está dividido".

Answer 2

Estaba llegando a ello, pero el apéndice me convence totalmente. No creo que encuentres esta cuestión exacta en mi libro Modelos acíclicos, pero sí muchos argumentos de este tipo.