Probando $e^{i\pi} = -1$ sin demostrar $e^{ix} = \cos x + i\sin x$

Question

Tal y como pide el título: Estoy buscando una prueba de la identidad de Euler sin probar primero el caso general de $e^{ix} = \cos x + i\sin x$ .

Answer 1

I que se ha señalado en una pregunta anterior una prueba de que $$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{ix}{n}\right)^n = \cos x + i\sin x$$

Ese esquema (más o menos a la mitad de la respuesta) puede ser alterado sólo para probarlo para $x=\pi$ bastante directamente. Básicamente:

$$\frac{\cos(\pi/n)+i\sin(\pi/n)}{1+i\pi/n}=1+g(n)$$

donde $ng(n)\to 0$ así que podemos probarlo: $$\left(\frac{\cos(\pi/n)+i\sin(\pi/n)}{1+i\pi/n}\right)^n\to 1$$

Puede demostrar que $ng(n)\to 0$ geométricamente. Esencialmente, sólo tienes que demostrar eso:

$$\left|\,\cos(\pi/n) - 1\right| = O(1/n^2)$$ y $$\left|\,\sin(\pi/n)-\pi/n\right| = O(1/n^2)$$

La primera es fácil de demostrar. La distancia de $(\cos x,\sin x)$ a $(1,0)$ es $\sqrt{2-2\cos x}$ y $x$ es la longitud del arco del círculo entre esos dos puntos. Así que $$0\leq 1-\cos\pi/n\leq \frac{\pi^2}{2}\frac{1}{n^2}$$

El segundo requiere más cuidado. Podemos ver fácilmente $0\leq \sin\pi/n \leq \pi/n$ desde $\sin \pi/n$ es la distancia de $(\cos\pi/n,\sin\pi/n)$ a la línea real, y $\pi/n$ es la longitud de un camino más largo hacia la línea real.

Ahora, toma los puntos $P=(1,0)$ y $Q=(\cos 2\pi/n,\sin 2\pi/n)$ . Dibuja las tangentes a las circunferencias unitarias en estos puntos y encuentra su intersección, $R$ . Entonces demuestre que la longitud de la trayectoria $PRQ$ es $2\tan \pi/n$ . Este es un camino "exterior" al círculo, por lo que debe ser mayor que el camino de longitud $2\pi/n$ a lo largo del círculo entre $P$ y $Q$ , por lo que obtenemos la desigualdad: $$\tan\pi/n \geq \pi/n$$ Esto nos da la desigualdad:

$$\frac{\pi}{n}\cos \pi/n \leq \sin\pi/n \leq\frac{\pi}n$$

Lo que significa que $$|\pi/n-\sin\pi/n|\leq \frac{\pi}{n}(1-\cos\pi/n) = O(1/n^3)$$

Answer 2

En esta respuesta se demuestra que $$ e^{ix}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{ix}{n}\right)^n $$ es un punto cuyo valor absoluto es $1$ y cuyo ángulo es $x$ . No se menciona a los senos y cosenos hasta el final, cuando se convierte de coordenadas polares. Dado que $-1$ tiene valor absoluto $1$ y el ángulo $\pi$ Esto indicaría que $$ e^{i\pi}=-1 $$ sin calcular primero $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ .

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Algunos se han quejado de que la prueba anterior, ya que demuestra que $e^{ix}$ es el punto con valor absoluto $1$ y el ángulo $x$ , en realidad demuestra $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ . Sin embargo, como nunca he visto una prueba de $e^{i\pi}=-1$ que no pruebe primero, en esencia, que $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ De todos modos, todo esto parece un ejercicio de ofuscación. Aquí hay una versión más cuidadosamente oculta del mismo argumento.

Utilizando esta formulación de $e^{i\pi}$ : $$ e^{i\pi}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{i\pi}{n}\right)^n\tag{2} $$ Para un número complejo $z$ , dejemos que $|z|$ sea su magnitud y $\arg(z)$ sea su ángulo. Si no se sabe ya, sólo se necesita una pequeña cantidad de álgebra y trigonometría para demostrar que $$ \begin{align} |wz|&=|w|\cdot|z|\tag{3a}\\ \arg(wz)&=\arg(w)+\arg(z)\tag{3b} \end{align} $$ La inducción muestra entonces que \begin{align} |z^n|&=|z|^n\tag{4a}\\ \arg(z^n)&=n\arg(z)\tag{4b} \end{align} Veamos con más detalle $1+\dfrac{i\pi}{n}$ . $$ \begin{align} \left|\,1+\frac{i\pi}{n}\,\right|&=\sqrt{1+\frac{\pi^2}{n^2}}\tag{5a}\\ \tan\left(\arg\left(1+\frac{i\pi}{n}\right)\right)&=\frac{\pi}{n}\tag{5b} \end{align} $$ Utilizando $(4a)$ , $(5a)$ y $(2)$ obtenemos $$ \begin{align} |e^{i\pi}| &=\lim_{n\to\infty}\left|\,1+\frac{i\pi}{n}\,\right|^n\\ &=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{\pi^2}{n^2}\right)^{n/2}\\ &=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{\pi^2}{n^2}\right)^{\frac{n^2}{2n}}\\ &=\lim_{n\to\infty}e^{\frac{\pi^2}{2n}}\\[12pt] &=1\tag{6} \end{align} $$ Se puede demostrar que cuando $x$ se mide en radianes $$ \lim_{x\to0}\frac{\tan(x)}{x}=1\tag{7} $$ Utilizando $(4b)$ , $(5b)$ y $(7)$ obtenemos $$ \begin{align} \arg(e^{i\pi}) &=\lim_{n\to\infty}n\arg\left(1+\frac{i\pi}{n}\right)\\ &=\lim_{n\to\infty}n\arg\left(1+\frac{i\pi}{n}\right) \frac{\tan\left(\arg\left(1+\frac{i\pi}{n}\right)\right)}{\arg\left(1+\frac{i\pi} {n}\right)}\\ &=\lim_{n\to\infty}n\frac{\pi}{n}\\ &=\pi\tag{8} \end{align} $$ Utilizando $(6)$ y $(8)$ , obtenemos que $e^{i\pi}$ tiene una magnitud $1$ y el ángulo $\pi$ . Es decir, $$ e^{i\pi}=-1 $$

Answer 3

Utilizaremos ese $\exp(z_1+z_2)=\exp(z_1)\cdot\exp(z_2)$ para la arbitrariedad $z_1$ , $z_2\in{\mathbb C}$ y que $\bigl|e^{i\tau}\bigr|=1$ de verdad $t$ . Las etiquetas $\sin$ y $\cos$ sólo aparecen como abreviaturas de ciertas expresiones, y no implican ningún conocimiento sobre estas funciones.

Tenga en cuenta que la serie $$\sin t:={\rm Im}(e^{it})=t-{t^3\over 6}+\ldots, \quad \cos t:={\rm Re}(e^{it})=1-{t^2\over 2}+\ldots\tag{1}$$ se alternan para $|t|<1$ . De ello se desprende que $$\sin 1>{5\over6}>{1\over\sqrt{2}}\ .$$ Como $\sin 0=0$ y $t\mapsto e^{it}$ es continua existe un $\tau\in\ ]0,1[\ $ con $$\sin\tau ={1\over\sqrt{2}}\ .$$ Desde $\tau<1$ se deduce de $(1)$ que $\cos\tau>0$ y $\bigl|e^{i\tau}\bigr|=1$ implica $\cos\tau=\sqrt{1-\sin^2\tau}={1\over\sqrt{2}}$ .

Por lo tanto, $e^{i\tau}={1\over\sqrt{2}}(1+i)$ y poniendo $\pi:=4\tau$ obtenemos $$e^{i\pi}=\left(e^{i\tau}\right)^4={1\over 4}(1+i)^4=-1\ .$$

Answer 4

Aquí hay otro argumento que tiene, creo, algunas lagunas. Considere el mapa $p\colon\mathbb R\to\mathbb C$ , por $p_t=e^{it}=\lim_n(1+it)^n$ . Es aditivo, en el sentido de que $p_{s+t}=p_sp_t$ y se mapea en el círculo unitario, ya que $\overline{p_t}=p_{-t}=1/p_t$ para que $p_t\overline{p_t}=1$ . Así que tenemos un mapa de los números reales al grupo de círculos. ¿Cuál es la velocidad (no la velocidad) del punto en movimiento $p_t$ ? Claramente (?) uniforme, debido a la aditividad, y se puede calcular la derivada en $t=0$ como $$ \lim_{h\to0}\lim_{n\to\infty}\frac{(1+ih)^n-1}{h}\,, $$ claramente (?) igual a $i$ para que la velocidad sea $|i|=1$ . (Por supuesto, se puede eliminar este signo de interrogación simplemente apelando a lo que sabemos sobre la derivada de la función exponencial). Moviéndose alrededor del círculo a velocidad unitaria uniforme, tiene que llegar a la mitad del tiempo $\pi$ .

Answer 5

Sólo toma el registro de ambos lados:

$$\ln e^{i\pi}=\ln(-1)\Rightarrow i\pi\ln e=i\pi\Rightarrow i\pi=i\pi$$